Fraccions algebraiques equivalents

Una fracció algebraica és un quocient de polinomis.

Vegem alguns exemples:

Exemple

$\frac{x^{2} - 3}{x + 1}$

$\frac{x^{4} + x^{3} + x - 1}{x^{3} + 2 x + 3}$

$\frac{x^{6}}{x - 2}$

De manera anàloga a les fraccions, podem definir que dues fraccions algebraiques són equivalents si el seu producte en creu és igual. És a dir, si tenim: $\frac{p (x)}{q (x)} i \frac{r (x)}{s (x)}$ dos parells de fraccions algebraiques, seran equivalents si, i només si: $p (x) \cdot s (x) = r (x) \cdot q (x)$

Exemple

Vegem si aquest parell de fraccions algebraiques són equivalents: $\frac{x^{2} - 1}{x} i \frac{(x - 1)^{2}}{x}$ Per comprovar-ho, realitzarem els productes creuats: $(x^{2} - 1) \cdot x = x^{3} - x$ $x \cdot (x - 1)^{2} = x \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ Que evidentment no són polinomis iguals. Per tant, les fraccions anteriors no són equivalents.

Exemple

Vegem si aquest parell de fraccions algebraiques són equivalents: $\frac{x - 1}{x + 1} i \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - 1}$ Per comprovar-ho, realitzarem els productes creuats: $(x - 1) \cdot (x^{2} - 1) = x \cdot (x^{2} - 1) - 1 \cdot (x^{2} - 1) =$ $= x^{3} - x - x^{2} + 1 = x^{3} - x^{2} - x + 1$

$(x + 1) \cdot (x - 1)^{2} = (x + 1) \cdot (x^{2} - 2 x + 1) =$ $x \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 1 \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = x^{3} - 2 x^{2} + x + x^{2} - 2 x + 1 =$ $= x^{3} - x^{2} - x + 1$ Efectivament, són iguals, i per tant, les fraccions anteriors són equivalents.