Com en les fraccions, per operar amb fraccions algebraiques és interessant que tinguin el mateix polinomi en el denominador. Així doncs, el procés de reducció de fraccions algebraiques a comú denominador consisteix en, donats dos parells de fraccions algebraiques, trobar dos parells de fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
Per a això, hi ha un procediment, que analitzarem mitjançant un exemple:
Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{1}{x^2-1} \ \mbox{i} \ \dfrac{x+2}{x-2}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
El procediment es pot separar en tres fases:
1) Factoritza els polinomis del denominador d'ambdues fraccions:
En el nostre cas:
$$x^2-1=(x-1)\cdot(x+1)$$
$$x-2$$
2) Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors. Recordem que per calcular el mcm només fa faltar ajuntar tots els polinomis diferents que configuren la descomposició factoritzada. En cas que hi hagi termes iguals, agafar els de major exponent.
En el nostre cas:
$$mcm\{x^2-1,x-2\}=mcm\{(x-1)\cdot(x+1),x-2\}=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)$$
3) Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}{(x-1)\cdot(x+1)}=x-2 \Rightarrow 1\cdot(x-2)=x-2 \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x-2}{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}$$
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}{x-2}=(x-1)(x+1) \Rightarrow (x+2)(x-1)(x+1) \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{(x+2)\cdot(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}$$
Com veiem, ara tenim dues fraccions equivalents a les primeres que disposen de comú denominador.
Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{3x}{x^2-9} \ \mbox{i} \ \dfrac{2x-1}{x+3}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
1) Factoritza els polinomis del denominador d'ambdues fraccions:
$$x^2-9=(x-3)\cdot(x+3)$$
$$x+3$$
2) Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors.
$$mcm\{x^2-9,x+3\}=mcm\{(x-3)\cdot(x+3),x+3\}=(x-3)\cdot(x+3)$$
3) Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm
$$\dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{(x-3)\cdot(x+3)}=1 \Rightarrow 1\cdot3x=3x \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{3x}{(x-3)\cdot(x+3)}$$
$$\dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{(x+3)}=(x-3) \Rightarrow (2x-1)\cdot(x+3)=2x\cdot(x+3)-1\cdot(x+3)=$$
$$=2x^2+5x-3 \Rightarrow \dfrac{2x^2+5x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}$$
I ja tenim dues fraccions equivalents a les primeres que disposen de comú denominador.
Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{x^2+3}{x-1} \ \mbox{i} \ \dfrac{x-1}{x+1}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
1) En aquest cas, els denominadors ja estan factoritzats.
$$x-1$$
$$x+1$$
2) Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors. En el cas que no hi hagi factors comuns, només cal calcular el producte de tots dos:
$$mcm\{x-1,x+1\}=(x-1)\cdot(x+1)$$
3) Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)}=(x+1) \Rightarrow (x^2+3)(x+1)=x^2\cdot(x+1)+3\cdot(x+1)=$$
$$=x^3+x^2+3x+3 \Rightarrow \dfrac{x^3+x^2+3x+3}{(x-1)\cdot(x+1)}$$
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x+1)}=(x-1) \Rightarrow (x-1)(x-1)=x^2-1\Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x^2-1}{(x-1)\cdot(x+1)}$$
I ja tenim dues fraccions equivalents a les primeres que disposen de comú denominador.
Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{2}{x^2+1} \ \mbox{i} \ \dfrac{x}{x+2}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
1) En aquest cas, els denominadors ja estan factoritzats. Recordem que tot i tenir grau dos, el primer denominador és irreductible ja que no té arrels reals.
$$x^2+1$$
$$x+2$$
2) Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors. En el cas que no hi hagi factors comuns, només cal calcular el producte de tots dos:
$$mcm\{x^2+1,x+2\}=(x^2+1)\cdot(x+2)$$
3) Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm
$$\dfrac{(x^2+1)\cdot(x+2)}{(x^2+1)}=x+2 \Rightarrow 2\cdot(x+2)=2x+4 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{2x+4}{(x^2+1)\cdot(x+2)}$$
$$\dfrac{(x^2+1)\cdot(x+2)}{(x+2)}=x^2+1 \Rightarrow x\cdot(x^2+1)=x^3+x \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x^3+x}{(x^2+1)\cdot(x+2)}$$
I ja tenim dues fraccions equivalents a les primeres que disposen de comú denominador.