Operacions amb fraccions algebraiques

Suma i resta

Per a realitzar la suma o resta de fraccions algebraiques, primer hem de transformar les fraccions a comú denominador, i posteriorment fer la suma o resta com si fos una fracció.

El denominador serà el mateix que tenen totes dues, i el numerador de la suma o resta serà la suma o resta de numeradors.

Exemple

Realitzar la suma de les següents fraccions algebraiques x1x+4 i x2+2x+4

En aquest cas, ambdues fraccions tenen el mateix denominador, per la qual cosa podem procedir directament a operar: x1x+4+x2+2x+4=x1+(x2+2)x+4=x2+x+1x+4

Exemple

Realitzar la resta de les fraccions algebraiques x2+1x2 i x+1x1

Primer, hem de transformar les fraccions algebraiques a fraccions amb comú denominador:

mcm{x2,x1}=(x2)(x1)

(x2)(x1)(x2)=x1(x1)(x2+1)=x(x2+1)1(x2+1)=

=x3x2+x1x3x2+x1(x2)(x1)

(x2)(x1)(x1)=x2(x1)(x+1)=x21x21(x2)(x1)

Ara procedim a operar:

x3x2+x1(x2)(x1)+x21(x2)(x1)=x3x2+x1+(x21)(x2)(x1)=

=x3+x2(x2)(x1)

Exemple

Realitzar la resta de les fraccions algebraiques x2x+3 i x1(x+1)2

Primer, hem de transformar les fraccions algebraiques a fraccions amb comú denominador:

mcm{x+3,(x+1)2}=(x+3)(x+1)2

(x+3)(x+1)2x+3=(x+1)2(x2)(x+1)2=x(x+1)2+1(x+1)2=

=x(x2+2x+1)+1(x2+2x+1)=x3+3x2+3x+1

x3+3x2+3x+1(x+3)(x+1)2

(x+3)(x+1)2(x+1)2=x+3(x1)(x+3)=x2+2x3

x2+2x3(x+3)(x+1)2

Ara procedim a operar:

x3+3x2+3x+1(x+3)(x+1)2x2+2x3(x+3)(x+1)2=x3+3x2+3x+1(x2+2x3)(x+3)(x+1)2=

=x3+2x2x+4(x+3)(x+1)2

Producte

Per realitzar el producte de dues fraccions algebraiques, el numerador del producte serà el producte de numeradors i el denominador del producte serà el producte de denominadors.

Exemple

Realitzar el producte de les següents fraccions algebraiques x1x+4 i x2+2x2.

Multipliquem numeradors i denominadors, i obtenim el resultat desitjat:

x1x+4x2+2x2=(x1)(x2+2)(x+4)(x2)=x(x2+2)1(x2+2)x(x2)+4(x2)=

=x3x2+2x2x2+2x8

Exemple

Realitzar el producte de les següents fraccions algebraiques x+5x i x21x+3.

Multipliquem numeradors i denominadors, i obtenim el resultat desitjat:

x+5xx21x+3=(x+5)(x21)x(x+3)=x(x21)+5(x21)x(x+3)=

=x3+5x2x5x2+3x

Divisió

Per a realitzar la divisió de dues fraccions algebraiques, n'hi ha prou a multiplicar la fracció algebraica del dividend per la fracció algebraica del divisor invertida, és a dir, el numerador en lloc del denominador, i viceversa.

Exemple

Realitzar la divisió de les següents fraccions algebraiques x1x+4 i x2+2x2.

Multipliquem la primera fracció per la segona invertida, i obtenim el resultat desitjat:

x1x+4x2x2+2=(x1)(x2)(x+4)(x2+2)=x(x2)1(x2)x(x2+2)+4(x2+2)=

=x23x+2x3+4x2+2x+8

Exemple

Realitzar la divisió de les següents fraccions algebraiques x+5x i x21x+3.

Multipliquem la primera fracció per la segona invertida, i obtenim el resultat desitjat:

x+5xx+3x21=(x+5)(x+3)x(x21)=x(x+3)+5(x+3)x(x21)=

=x2+8x+15x3x