Suma i resta
Per a realitzar la suma o resta de fraccions algebraiques, primer hem de transformar les fraccions a comú denominador, i posteriorment fer la suma o resta com si fos una fracció.
El denominador serà el mateix que tenen totes dues, i el numerador de la suma o resta serà la suma o resta de numeradors.
Realitzar la suma de les següents fraccions algebraiques $$\dfrac{x-1}{x+4} \ \mbox{i} \ \dfrac{x^2+2}{x+4}$$
En aquest cas, ambdues fraccions tenen el mateix denominador, per la qual cosa podem procedir directament a operar: $$$\dfrac{x-1}{x+4}+\dfrac{x^2+2}{x+4}=\dfrac{x-1+(x^2+2)}{x+4}=\dfrac{x^2+x+1}{x+4}$$$
Realitzar la resta de les fraccions algebraiques $$\dfrac{x^2+1}{x-2} \ \mbox{i} \ \dfrac{x+1}{x-1}$$
Primer, hem de transformar les fraccions algebraiques a fraccions amb comú denominador:
$$mcm\{x-2,x-1\}=(x-2)\cdot(x-1)$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x-1)}{(x-2)}=x-1 \Rightarrow (x-1)\cdot(x^2+1)=x\cdot(x^2+1)-1\cdot(x^2+1)=$$
$$=x^3-x^2+x-1 \Rightarrow \dfrac{x^3-x^2+x-1}{(x-2)\cdot(x-1)}$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x-1)}{(x-1)}=x-2 \Rightarrow (x-1)\cdot(x+1)=x^2-1 \Rightarrow \dfrac{x^2-1}{(x-2)\cdot(x-1)}$$
Ara procedim a operar:
$$\dfrac{x^3-x^2+x-1}{(x-2)(x-1)}+\dfrac{x^2-1}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{x^3-x^2+x-1+(x^2-1)}{(x-2)(x-1)}=$$
$$=\dfrac{x^3+x-2}{(x-2)(x-1)}$$
Realitzar la resta de les fraccions algebraiques $$\dfrac{x-2}{x+3} \ \mbox{i} \ \dfrac{x-1}{(x+1)^2}$$
Primer, hem de transformar les fraccions algebraiques a fraccions amb comú denominador:
$$mcm\{x+3,(x+1)^2\}=(x+3)\cdot(x+1)^2$$
$$\dfrac{(x+3)\cdot(x+1)^2}{x+3}=(x+1)^2 \Rightarrow (x-2)\cdot(x+1)^2=x\cdot(x+1)^2+1\cdot(x+1)^2=$$
$$=x\cdot(x^2+2x+1)+1\cdot(x^2+2x+1)=x^3+3x^2+3x+1 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{(x+3)\cdot(x+1)^2}$$
$$\dfrac{(x+3)\cdot(x+1)^2}{(x+1)^2}=x+3 \Rightarrow (x-1)\cdot(x+3)=x^2+2x-3 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{x^2+2x-3}{(x+3)\cdot(x+1)^2}$$
Ara procedim a operar:
$$\dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{(x+3)(x+1)^2}-\dfrac{x^2+2x-3}{(x+3)(x+1)^2}=\dfrac{x^3+3x^2+3x+1-(x^2+2x-3)}{(x+3)(x+1)^2}=$$
$$=\dfrac{x^3+2x^2-x+4}{(x+3)(x+1)^2}$$
Producte
Per realitzar el producte de dues fraccions algebraiques, el numerador del producte serà el producte de numeradors i el denominador del producte serà el producte de denominadors.
Realitzar el producte de les següents fraccions algebraiques $$\dfrac{x-1}{x+4}$$ i $$\dfrac{x^2+2}{x-2}$$.
Multipliquem numeradors i denominadors, i obtenim el resultat desitjat:
$$\dfrac{x-1}{x+4}\cdot\dfrac{x^2+2}{x-2}=\dfrac{(x-1)\cdot(x^2+2)}{(x+4)\cdot(x-2)}=\dfrac{x\cdot(x^2+2)-1\cdot(x^2+2)}{x\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)}=$$
$$=\dfrac{x^3-x^2+2x-2}{x^2+2x-8}$$
Realitzar el producte de les següents fraccions algebraiques $$\dfrac{x+5}{x}$$ i $$\dfrac{x^2-1}{x+3}$$.
Multipliquem numeradors i denominadors, i obtenim el resultat desitjat:
$$\dfrac{x+5}{x}\cdot\dfrac{x^2-1}{x+3}=\dfrac{(x+5)\cdot(x^2-1)}{x\cdot(x+3)}=\dfrac{x\cdot(x^2-1)+5\cdot(x^2-1)}{x\cdot(x+3)}=$$
$$=\dfrac{x^3+5x^2-x-5}{x^2+3x}$$
Divisió
Per a realitzar la divisió de dues fraccions algebraiques, n'hi ha prou a multiplicar la fracció algebraica del dividend per la fracció algebraica del divisor invertida, és a dir, el numerador en lloc del denominador, i viceversa.
Realitzar la divisió de les següents fraccions algebraiques $$\dfrac{x-1}{x+4}$$ i $$\dfrac{x^2+2}{x-2}$$.
Multipliquem la primera fracció per la segona invertida, i obtenim el resultat desitjat:
$$\dfrac{x-1}{x+4}\cdot\dfrac{x-2}{x^2+2}=\dfrac{(x-1)\cdot(x-2)}{(x+4)\cdot(x^2+2)}=\dfrac{x\cdot(x-2)-1\cdot(x-2)}{x\cdot(x^2+2)+4\cdot(x^2+2)}=$$
$$=\dfrac{x^2-3x+2}{x^3+4x^2+2x+8}$$
Realitzar la divisió de les següents fraccions algebraiques $$\dfrac{x+5}{x}$$ i $$\dfrac{x^2-1}{x+3}$$.
Multipliquem la primera fracció per la segona invertida, i obtenim el resultat desitjat:
$$\dfrac{x+5}{x}\cdot\dfrac{x+3}{x^2-1}=\dfrac{(x+5)\cdot(x+3)}{x\cdot(x^2-1)}=\dfrac{x\cdot(x+3)+5\cdot(x+3)}{x\cdot(x^2-1)}=$$
$$=\dfrac{x^2+8x+15}{x^3-x}$$