Simplificació i amplificació de fraccions algebraiques

Exemple

Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}$$ Factoritzats el numerador i el denominador:

$x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$

$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$

Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:

$${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$$ I el resultat és una fracció algebraica.

Exemple

Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $${\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x-2}}$$ Factoritzats el numerador i el denominador:

$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$

$x-2$

Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:

$${\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{x-2}}=x-2$$ I el resultat és un polinomi.

Exemple

Expandir la següent fracció algebraica ${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$ de tal manera que tingui un polinomi amb arrel $x=-1$ en el denominador.

Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $x+1$ tant en el numerador com en el denominador: $${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}={\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{x\cdot (x+1)+2\cdot (x+1)}}=$$

$$={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}}$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.

Exemple

Expandir la següent fracció algebraica ${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$ del tal manera que tingui un polinomi amb arrel $x=3$ en el denominador.

Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $x-3$ tant en el numerador com en el denominador: $${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-3}{x-3}}$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-3}{x-3}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{x\cdot (x-3)+2\cdot (x-3)}{x\cdot (x-3)-2\cdot (x-3)}}=$$

$$={\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}}$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.