Donades les fraccions $$\dfrac{x+3}{x-1}$$ i $$\dfrac{x-3}{x+1}$$, realitzar una expansió de tal manera que els denominadors tinguin com a arrel $$x=-2$$ i $$x=4$$, respectivament.
Desenvolupament:
Perquè el denominador tingui com a arrel $$x=-2$$, n'hi ha prou amb multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $$x+2$$ tant en el numerador com en el denominador:
$$$\dfrac{x+3}{x-1}\cdot\dfrac{x+2}{x+2}=\dfrac{(x+3)\cdot(x+2)}{(x-1)\cdot(x+2)}=\dfrac{x\cdot(x+2)+3\cdot(x+2)}{x\cdot(x+2)-1\cdot(x+2)}=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$$
Perquè el denominador tingui com a arrel $$x=4$$, n'hi ha prou amb multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $$x-4$$ tant en el numerador com en el denominador:
$$$\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{x-4}{x-4}=\dfrac{(x-3)\cdot(x-4)}{(x+1)\cdot(x-4)}=\dfrac{x\cdot(x-4)-3\cdot(x-4)}{x\cdot(x-4)+1\cdot(x-4)}=\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$$
Solució:
$$\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$
$$\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$