Exercicis de Reducció de fraccions algebraiques a comú denominador

Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{x+3}{x^2-9}$$ i $$\dfrac{x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Només cal seguir els passos:

  1. Factoritzar:

$$x^2-9=(x+3)\cdot(x-3)$$

$$(x^2+2)\cdot(x+3)$$

  1. Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors:

$$mcm\{x^2-9,(x^2+2)\cdot(x+3)\}=mcm\{(x-3)\cdot(x+3),(x^2+2)\cdot(x+3)\}=$$

$$=(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)$$

  1. Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm.

$$\dfrac{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}{x^2-9}=x^2+2 \Rightarrow (x+3)\cdot(x^2-9)=x\cdot(x^2-9)+3\cdot(x^2-9)=$$

$$=x^3+3x^2-9x-27 \Rightarrow \dfrac{x^3+3x^2-9x-27}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$

$$\dfrac{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}{(x^2+2)(x+3)}=x-3 \Rightarrow x^2\cdot(x-3)=x^3-3x^2 \Rightarrow $$

$$\Rightarrow \dfrac{x^3-3x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$

Solució:

$$\dfrac{x^3+3x^2-9x-27}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$ i $$\dfrac{x^3-3x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria