Ejercicios de Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Dadas las fracciones algebraicas $\frac{x + 3}{x^{2} - 9}$ y $\frac{x^{2}}{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3)}$ , encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.

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Desarrollo:

Basta con seguir los pasos:

Factorizar:

$x^{2} - 9 = (x + 3) \cdot (x - 3)$

$(x^{2} + 2) \cdot (x + 3)$

Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios denominadores:

$m c m {x^{2} - 9, (x^{2} + 2) \cdot (x + 3)} = m c m {(x - 3) \cdot (x + 3), (x^{2} + 2) \cdot (x + 3)} =$

$= (x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$

Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica; el denominador es el mismo m.c.m.

$\frac{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}{x^{2} - 9} = x^{2} + 2 \Rightarrow (x + 3) \cdot (x^{2} - 9) = x \cdot (x^{2} - 9) + 3 \cdot (x^{2} - 9) =$

$= x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27 \Rightarrow \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27}{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}$

$\frac{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}{(x^{2} + 2) (x + 3)} = x - 3 \Rightarrow x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2} \Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{x^{3} - 3 x^{2}}{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}$

Solución:

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27}{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}$ y $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{(x^{2} + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)}$

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