Ejercicios de Posiciones relativas entre rectas

Desarrollo:

De entrada recordamos que dos rectas son paralelas si y solo si lo son sus vectores directores.

Un vector director de la recta $r$ es $\overrightarrow{v}=(1,3)$. Por tanto si utilizamos la ecuación vectorial la recta que pasa por $P=(1,1)$ y es paralela a $r$ es: $$(x,y)=(1,1)+k\cdot (1,3)$$ Si buscamos ahora la posición relativa entre $r$ y $s$:

$r:3x-y+2=0\to r:y=3x+2$ (ecuación explícita)

$s:y=-x+4$

Por tanto tenemos los pendientes de $r$ y $s$, $$m_r=3,m_s=-1$$ Observamos que son distintos y por lo tanto las rectas no son paralelas ni coincidentes, y evidentemente han de ser secantes.

Por último, el punto de intersección lo podemos calcular fácilmente resolviendo el sistema:

$\{\begin{array}{c}y=-x+4\\ x=1+k\\ y=1+3k\end{array}$

equivalente a:

$\{\begin{array}{c}y=-x+4\\ x-1={\displaystyle \frac{y-1}{3}}\end{array}$

y cuya solución es:

$3x-3=-x+4-1\to 4x=6\to x=3/2$

$y=5/2$

Solución:

La ecuación de la recta paralela es: $$(x,y)=(1,1)+k\cdot (1,3)$$

Las rectas $r$ y $s$ son secantes.

La recta $s$ y la paralela a $r$ se cortan en el punto $P=(3/2,5/2)$.

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