Exercicis de Posicions relatives entre rectes

Donades la rectes $r : 3 x - y + 2 = 0$ i $s : y = - x + 4$ , trobeu una recta paral·lela a $r$ que passi pel punt $P = (1, 1)$ .

Determineu la posició relativa entre $r$ i $s$ , i busqueu el punt de tall entre $s$ i la paral·lela a $r$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

D'entrada recordar que dues rectes són paral·leles si i només si ho són els seus vectors directors.

Un vector director de la recta $r$ és $\vec{v} = (1, 3)$ . Per tant si utilitzem l'equació vectorial la recta que passa per $P = (1, 1)$ i és paral·lela a $r$ és: $(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$ Si busquem ara la posició relativa entre $r$ i $s$ :

$r : 3 x - y + 2 = 0 \to r : y = 3 x + 2$ (equació explícita)

$s : y = - x + 4$

Per tant tenim els pendents de $r$ i $s$ , $m_{r} = 3, m_{s} = - 1$ Observem que són diferents i per tant les rectes no són paral·leles ni coincidents, i evidentment han de ser secants.

Finalment, el punt d'intersecció el podem calcular fàcilment resolent el sistema:

${\begin{matrix} y = - x + 4 \\ x = 1 + k \\ y = 1 + 3 k \end{matrix}$

equivalent a:

${\begin{matrix} y = - x + 4 \\ x - 1 = \frac{y - 1}{3} \end{matrix}$

i la solució és:

$3 x - 3 = - x + 4 - 1 \to 4 x = 6 \to x = 3 / 2$

$y = 5 / 2$

Solució:

L'equació de la recta paral·lela és: $(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$

Les rectes $r$ i $s$ són secants.

La recta $s$ i la paral·lela a $r$ es tallen en el punt $P = (3 / 2, 5 / 2)$ .

Amagar desenvolupament i solució