Potencias

Calculemos $2 \cdot 2 = 4$ y también $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Estas multiplicaciones son sencillas y rápidas de escribir, pero no siempre es así. Veamos que pasa si queremos multiplicar $2$ por él mismo siete veces. Deberemos escribir $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$ . En este caso ya nos damos cuenta que es más pesado escribir la operación.

Por eso se utiliza una notación mucho más práctica: las potencias. Así pues se escribe el número que se quiere multiplicar por él mismo y en forma de superíndice las veces que se multiplica. De esta forma se indica el número de veces que queremos multiplicarlo por si mismo.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si queremos multiplicar el número $5$ por él mismo $6$ veces, se escribe: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{6}$

Por lo tanto, dado que $2 \cdot 2 = 4$ podemos escribir que $2^{2} = 4$ , y leeremos que "dos elevado a dos es igual a cuatro". O también $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{4}$ "cuatro elevado a cuatro", o bien $134 \cdot 134 \cdot 134 = 134^{3}$ , "ciento treinta y cuatro elevado a tres".

Así, se tiene por ejemplo,

Ejemplo

$3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ de forma que nos ahorramos escribir tal producto de forma larga i extensa. En este caso se lee "tres elevado a cinco" que quiere decir que multiplicamos cinco veces el número tres por él mismo.

En una expresión del tipo $a^{n} = b$ donde $a$ , $b$ y $n$ son números naturales, significa que $a \cdot a \cdot \overset{(n)}{\dots} \cdot a = b$ y se distinguen distintos elementos.

$a$ es la base de la potencia.
$n$ es el exponente de la potencia.
$b$ es la $n$ -ésima potencia de $a$ . (cuando $n$ es $2$ se le llama cuadrado y cuando es $3$ cubo)

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

$7 \cdot 7 = 7^{2} = 49$ donde $7$ es la base de la potencia, $2$ es el exponente y $49$ es el cuadrado de $7$ .

Ejemplo

$2^{8} = 256$ donde $2$ es la base, $8$ el exponente y $256$ es la octava potencia de $2$ .

Veamos ahora algunas potencias especiales:

$0^{1} = 0, 0^{2} = 0 \dots$ dado que por muchas veces que multipliquemos cero por él mismo siempre da cero. $1^{2} = 1 \cdot 1 = 1, 1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \dots$ dado que por muchas veces que multipliquemos uno por él mismo siempre sigue siendo uno. $3^{1} = 3, 8^{1} = 8, \dots$ y esto mismo sirve para cualquier número con exponente $1$ . Puesto que multiplicarlo por el mismo una vez significa no hacer nada. Para todo número se cumple: $a^{1} = a$

Debe tenerse en cuenta además, que por convenio se establece que para cualquier número se cumple que: $a^{0} = 1$ . Así pues, $4^{0} = 1, 345^{0} = 1, 78^{0} = 1, \dots$