Ejercicios de Rango de una matriz: método de Gauss

Crear una matriz $$4\times4$$, con la peculiaridad que una de sus filas sea combinación lineal de las otras $$3$$. Calcular el rango de la matriz.

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Desarrollo:

Creamos la matriz $$4\times4$$: $$$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$$ Como se ve $$f4=f1+f2+f3$$.

Calculamos el rango.

Lo primero es eliminar la fila combinación lineal de las otras, es decir, eliminaremos la fila $$4$$.

-Evidentemente hay submatrices $$1\times1$$ no nulas (todos los elementos no nulos lo son).

-¿Hay submatrices $$2\times2$$ no nulas? Sí $$$\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right| = 2 \neq 0 $$$

-¿Hay submatrices $$3\times3$$ no nulas? Sí $$$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0 $$$

$$$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right| = -2-2=-4 \neq 0 $$$

Como la matriz $$4\times4$$ sí es nula (la fila $$4$$ es combinación lineal de las otras $$3$$ filas) el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula es $$3$$.

Por lo tanto, rang$$(A)=3$$.

Solución:

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$

rang$$(A)=3$$

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