Ejercicios de Rango de una matriz: método de Gauss

Crear una matriz $4 \times 4$ , con la peculiaridad que una de sus filas sea combinación lineal de las otras $3$ . Calcular el rango de la matriz.

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Desarrollo:

Creamos la matriz $4 \times 4$ : $A = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array})$ Como se ve $f 4 = f 1 + f 2 + f 3$ .

Calculamos el rango.

Lo primero es eliminar la fila combinación lineal de las otras, es decir, eliminaremos la fila $4$ .

-Evidentemente hay submatrices $1 \times 1$ no nulas (todos los elementos no nulos lo son).

-¿Hay submatrices $2 \times 2$ no nulas? Sí $| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} | = 2 \neq 0$

-¿Hay submatrices $3 \times 3$ no nulas? Sí $| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array} | = - 1 \neq 0$

$| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array} | = - 2 - 2 = - 4 \neq 0$

Como la matriz $4 \times 4$ sí es nula (la fila $4$ es combinación lineal de las otras $3$ filas) el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula es $3$ .

Por lo tanto, rang $(A) = 3$ .

Solución:

$(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array})$

rang $(A) = 3$

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