Exercicis de Rang d'una matriu: mètode de Gauss

Crear una matriu $4 \times 4$ , amb la peculiaritat que una de les seves files sigui combinació lineal de les altres $3$ . Calcular el rang de la matriu.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Creem la matriu $4 \times 4$ : $A = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array})$ Com es veu $f 4 = f 1 + f 2 + f 3$ .

Calculem el rang.

El primer és eliminar la fila combinació lineal de les altres, és a dir, eliminarem la fila $4$ .

-Evidentment hi ha submatrius $1 \times 1$ no nul·les (tots els elements no nuls ho són).

-Hi ha submatrius $2 \times 2$ no nul·les? Sí $| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} | = 2 \neq 0$

-Hi ha submatrius $3 \times 3$ no nul·les? Sí $| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array} | = - 1 \neq 0$

$| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array} | = - 2 - 2 = - 4 \neq 0$

Com que la matriu $4 \times 4$ sí que és nul·la (la fila $4$ és combinació lineal de les altres $3$ files) l'ordre de la major submatriu quadrada no nul·la és $3$ .

Per tant, rang $(A) = 3$ .

Solució:

$(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array})$

rang $(A) = 3$

Amagar desenvolupament i solució