Rang d'una matriu: mètode de Gauss

El rang d'una matriu és el nombre de línies linealment independents d'aquesta matriu.

Una línia és linealment independent de les altres quan no es pot establir a partir d'una combinació lineal de les altres. Si, per contra, podem trobar una línia a partir d'una combinació lineal de les altres llavors direm que aquesta línia és linealment dependent. En aquest cas aquesta fila s'haurà de descartar per al càlcul del rang de la matriu.

Només segons la definició, doncs, vegeu els casos en què una línia es pot descartar:

Tots els elements són nuls.
Hi ha dues línies iguals.
Una línia és proporcional a una altra.
Una línia és combinació lineal d'una altra o altres.

Exemple

Sigui la matriu $A$ :

$A = (\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 1 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 6 & - 2 & 4 \end{array})$

Segons 1. podem descartar la fila $4$ , ja que tots els seus elements són nuls.

Segons 2. podem descartar la fila $3$ , ja que és igual que la fila $1$ .

Segons 3. podem descartar la fila $5$ , ja que és proporcional a la fila $1$ .

Per tant, el rang de $A$ és $2$ . S'escriu així: rang $(A) = 2$ o $r (A) = 2$ .

Exemple

Els tres casos presentats (1, 2 i 3) són realment fàcils. El quart punt, però, no sempre és immediat.

Es proposa a continuació un petit exercici per familiaritzar-se amb el concepte de combinació lineal. Es tracta de saber identificar combinacions lineals o de construir-les.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$

Hi ha alguna línia eliminable?

$(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 5 \end{array})$

I ara?

Efectivament en ambdós casos la tercera fila és combinació lineal de les altres dues.

En el primer,

fila $3$ =fila $1$ +fila $2$ ,

mentre que en el segon

fila $3$ = $2 \cdot$ fila $1 + 5 \cdot$ fila $2$ .

En ambdós casos, el rang $(A) = 2$ .

En general s'utilitzarà el mètode de Gauss per retocar tant com sigui necessari una matriu, de manera que sigui més o menys immediat aplicar les quatre normes.