Rang d'una matriu mitjançant determinants

El rang d'una matriu es pot trobar també fent ús del càlcul de determinants. Podem definir rang, novament, a partir del que ara interessa.

El rang d'una matriu és el màxim ordre dels menors no nuls de la matriu.

Vegeu el següent exemple per solucionar els dubtes:

Exemple

$A = (\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & - 7 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \end{array})$

1) Donada la matriu $A$ es descarten files o columnes segons els criteris utilitzats anteriorment. Així doncs,

La columna $5$ es pot descartar per tenir nuls tots els seus elements.

La columna $3$ es pot descartar per ser combinació lineal de la columna $1$ i la columna $2$ . Concretament, $c 3 = c 1 + c 2$ .

$A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array})$

2) Hi ha algun menor d'ordre $1$ no nul?

Qualsevol element no nul és una submatriu quadrada de determinant no nul, per tant es miren ordres superiors.

3) Hi ha algun menor d'ordre $2$ no nul?

$| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} | = 1 \neq 0$

Sí que n'hi ha, per tant es miren ordres superiors.

4) Hi ha algun menor d'ordre $3$ no nul?

$| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \end{array} | = 0$

$| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \end{array} | = 0$

$| \begin{array}{ccc} - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array} | = 0$

No n'hi ha, per tant rang $(A) = 2$ , que és l'ordre de la major submatriu quadrada de determinant no nul.