El rang d'una matriu es pot trobar també fent ús del càlcul de determinants. Podem definir rang, novament, a partir del que ara interessa.
El rang d'una matriu és el màxim ordre dels menors no nuls de la matriu.
Vegeu el següent exemple per solucionar els dubtes:
$$$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -7 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{array} \right)$$$
1) Donada la matriu $$A$$ es descarten files o columnes segons els criteris utilitzats anteriorment. Així doncs,
La columna $$5$$ es pot descartar per tenir nuls tots els seus elements.
La columna $$3$$ es pot descartar per ser combinació lineal de la columna$$1$$ i la columna$$2$$. Concretament, $$c3=c1+c2$$.
$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$$$
2) Hi ha algun menor d'ordre $$1$$ no nul?
Qualsevol element no nul és una submatriu quadrada de determinant no nul, per tant es miren ordres superiors.
3) Hi ha algun menor d'ordre $$2$$ no nul?
$$$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right| = 1 \neq 0$$$
Sí que n'hi ha, per tant es miren ordres superiors.
4) Hi ha algun menor d'ordre $$3$$ no nul?
$$$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{array} \right| = 0$$$
$$$\left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{array} \right| = 0$$$
$$$\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right| = 0$$$
No n'hi ha, per tant rang$$(A)=2$$, que és l'ordre de la major submatriu quadrada de determinant no nul.