El rango de una matriz puede encontrarse haciendo uso del cálculo de determinantes. Podemos definir rango a partir de lo que ahora interesa.
El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
Véase el siguiente ejemplo para solucionar las dudas.
$$$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -7 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & 0 \end{array} \right)$$$
1) Dada la matriz $$A$$ se descartan filas o columnas según los criterios utilizados para el cálculo del rango mediante el método de Gauss. Así pues,
La columna $$5$$ puede descartarse por ser nulos todos sus elementos.
La columna $$3$$ puede descartarse por ser combinación lineal de la columna$$1$$ y la columna$$2$$. Concretamente, $$c3=c1+c2$$.
$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$$$
2) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $$1$$ no nula?
Cualquier elemento no nulo es una submatriz cuadrada no nula, por lo tanto se miran órdenes superiores.
3) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $$2$$ no nula?
$$$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right| = 1 \neq 0$$$
Sí que la hay, por lo tanto se miran órdenes superiores.
4) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $$3$$ no nula?
$$$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{array} \right| = 0$$$
$$$\left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{array} \right| = 0$$$
$$$\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right| = 0$$$
No la hay, por lo tanto rang$$(A)=2$$, que es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.