Rango de una matriz mediante determinantes

El rango de una matriz puede encontrarse haciendo uso del cálculo de determinantes. Podemos definir rango a partir de lo que ahora interesa.

El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

Véase el siguiente ejemplo para solucionar las dudas.

Ejemplo

$A = (\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & - 7 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 & 17 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \end{array})$

1) Dada la matriz $A$ se descartan filas o columnas según los criterios utilizados para el cálculo del rango mediante el método de Gauss. Así pues,

La columna $5$ puede descartarse por ser nulos todos sus elementos.

La columna $3$ puede descartarse por ser combinación lineal de la columna $1$ y la columna $2$ . Concretamente, $c 3 = c 1 + c 2$ .

$A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array})$

2) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $1$ no nula?

Cualquier elemento no nulo es una submatriz cuadrada no nula, por lo tanto se miran órdenes superiores.

3) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $2$ no nula?

$| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} | = 1 \neq 0$

Sí que la hay, por lo tanto se miran órdenes superiores.

4) Hay alguna submatriz cuadrada de orden $3$ no nula?

$| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \end{array} | = 0$

$| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \end{array} | = 0$

$| \begin{array}{ccc} - 1 & 1 & - 7 \\ 3 & - 2 & 17 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array} | = 0$

No la hay, por lo tanto rang $(A) = 2$ , que es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.