Parlant amb rigor, la regla per multiplicar matrius diu:
"La matriu producte de dues matrius $$A$$ i $$B$$ és una matriu $$C$$ on els elements $$a_{ij}$$ estan formats per les sumes dels productes dels elements de la fila $$i$$ de la matriu $$A$$ pels de la columna $$j$$ de la matriu $$B$$."
La veritat és que no és un enunciat molt encoratjador, però en realitat la cosa és senzilla i només requereix una mica de pràctica, ja que es tracta de multiplicar ordenadament files de la primera matriu per columnes de la segona.
Comencem amb un exemple senzill.
$$$\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 6 \end{array} \right) = 5\cdot4+2\cdot(-3)+1\cdot6=20-6+6=20$$$
És a dir, el que cal fer és multiplicar el primer element de la fila de la primera matriu pel primer de la columna de la segona matriu, a aquest sumar el producte del segon de la fila pel segon de la columna i finalment sumar-li el producte del tercer de la fila pel tercer de la columna.
És més difícil de dir que de fer. Vegem un altre exemple:
$$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) = 2\cdot3+3\cdot2+5\cdot4=6+6+20=32$$$
Vegem un producte de dues matrius quadrades $$2\times2$$:
$$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1\cdot3+5\cdot1 & 1\cdot4+5\cdot6 \\ 2\cdot3+2\cdot1 & 2\cdot4+2\cdot6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$$
Cada element $$a_{ij}$$ s'obté sumant els productes d'elements de la fila $$i$$ pels de la columna $$j$$.
Per exemple, el $$8$$, element de la primera fila, primera columna del resultat, s'obté multiplicant la primera fila de la primera matriu per la primera columna de la segona matriu.
El número $$8$$, que és l'element de la segona fila, primera columna de la matriu final, s'obté multiplicant la segona fila de la primera matriu per la primera columna de la segona, i així tots els elements.
Per deixar més clar la forma de fer-ho anem a marcar les files i columnes corresponents de la matriu producte.
$$$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \fbox{5} \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \fbox{3} & 4 \\ \fbox{1} & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \fbox{8} & 34 \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \fbox{5} \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & \fbox{4} \\ 1 & \fbox{6} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & \fbox{34} \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ \fbox{2} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \fbox{3} & 4 \\ \fbox{1} & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ \fbox{8} & 20 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ \fbox{2} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & \fbox{4} \\ 1 & \fbox{6} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ 8 & \fbox{20} \end{array} \right)$$$
En realitat només cal recordar que s'ha de multiplicar "fila per columna". Per exemple, calculem en la següent matriu quin és el valor de l'element assenyalat:
$$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 5 & 3 \\ 7 & 1 & 0 & 3 & 7 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 6 & 3 & -1 & 0 \\ 8 & 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 5 & 3 & 7 & 2 \\ 5 & 8 & 3 & 9 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{?} & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$$
Haurem de multiplicar la quarta fila per la tercera columna:
$$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \\ \fbox{0} & \fbox{-2} & \fbox{3} & \fbox{5} & \fbox{3} \\ 7 & 1 & 0 & 3 & 7 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 6 & \fbox{3} & -1 & 0 \\ 8 & 2 & \fbox{4} & 6 & 1 \\ 0 & 2 & \fbox{1} & 4 & 3 \\ 1 & 5 & \fbox{3} & 7 & 2 \\ 5 & 8 & \fbox{3} & 9 & 2 \end{array} \right) =$$$
$$$= \left( \begin{array}{ccccc} \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & 0\cdot3+(-2)\cdot4+3\cdot1+5\cdot3+3\cdot3 & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$$
O sigui que en la matriu producte tenim que $$a_{43}=19$$.
Vegem un altre exemple. Farem el producte de dues matrius $$3\times3$$ (serà el cas més complicat que veurem).
$$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$$
Anem a detallar com s'han calculat alguns dels seus elements.
L'element $$a_{11}$$ s'obté multiplicant primera fila per primera columna:
$$$\left( \begin{array}{ccc} \fbox{2} & \fbox{5} & \fbox{1} \\ 4 & -2 & 0 \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & 2 & 3 \\ \fbox{3} & 4 & 1 \\ \fbox{1} & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \fbox{18} & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$$ $$$2\cdot1+5\cdot3+1\cdot1=2+15+1=18$$$
L'element $$a_{23}$$ s'obté multiplicant segona fila per tercera columna:
$$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ \fbox{4} & \fbox{-2} & \fbox{0} \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \fbox{3} \\ 3 & 4 & \fbox{1} \\ 1 & -4 & \fbox{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & \fbox{10} \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$$
$$$4\cdot3+(-2)\cdot1+0\cdot2=12-2+0=10$$$
L'element $$a_{31}$$ s'obté multiplicant tercera fila per primera columna:
$$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ \fbox{1} & \fbox{6} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & 2 & 3 \\ \fbox{3} & 4 & 1 \\ \fbox{1} & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ \fbox{21} & 18 & 13 \end{array} \right)$$$
$$$1\cdot1+6\cdot3+1\cdot2=1+18+2=21$$$
L'element $$a_{22}$$ s'obté multiplicant segona fila per segona columna:
$$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ \fbox{4} & \fbox{-2} & \fbox{0} \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & \fbox{2} & 3 \\ 3 & \fbox{4} & 1 \\ 1 & \fbox{-4} & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & \fbox{0} & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$$
$$$4\cdot2+(-2)\cdot4+0\cdot2=8-8+0=0$$$
Els elements restants de la matriu producte es calculen seguint el mateix mètode.
A hores d'ara ja ens haurem adonat que multiplicar matrius és una mica molest. Pensem, per exemple, que el producte de dues matrius $$4\times4$$ suposa dur a terme $$128$$ operacions aritmètiques.
Afortunadament, la majoria de les calculadores científiques que hi ha actualment al mercat inclouen el càlcul matricial. Tanmateix, és aconsellable fer com a mínim un cop el producte "a mà" de matrius $$3\times3$$ per comprendre la mecànica de les operacions.