Producte de matrius

Parlant amb rigor, la regla per multiplicar matrius diu:

"La matriu producte de dues matrius $A$ i $B$ és una matriu $C$ on els elements $a_{ij}$ estan formats per les sumes dels productes dels elements de la fila $i$ de la matriu $A$ pels de la columna $j$ de la matriu $B$."

La veritat és que no és un enunciat molt encoratjador, però en realitat la cosa és senzilla i només requereix una mica de pràctica, ja que es tracta de multiplicar ordenadament files de la primera matriu per columnes de la segona.

Comencem amb un exemple senzill.

És a dir, el que cal fer és multiplicar el primer element de la fila de la primera matriu pel primer de la columna de la segona matriu, a aquest sumar el producte del segon de la fila pel segon de la columna i finalment sumar-li el producte del tercer de la fila pel tercer de la columna.

És més difícil de dir que de fer. Vegem un altre exemple:

Cada element $a_{ij}$ s'obté sumant els productes d'elements de la fila $i$ pels de la columna $j$.

Per exemple, el $8$, element de la primera fila, primera columna del resultat, s'obté multiplicant la primera fila de la primera matriu per la primera columna de la segona matriu.

El número $8$, que és l'element de la segona fila, primera columna de la matriu final, s'obté multiplicant la segona fila de la primera matriu per la primera columna de la segona, i així tots els elements.

Per deixar més clar la forma de fer-ho anem a marcar les files i columnes corresponents de la matriu producte.

$$\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{1}}& \boxed{\text{5}}\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{3}}& 4\\ \boxed{\text{1}}& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{8}}& 34\\ 8& 20\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{1}}& \boxed{\text{5}}\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& \boxed{\text{4}}\\ 1& \boxed{\text{6}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& \boxed{\text{34}}\\ 8& 20\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ \boxed{\text{2}}& \boxed{\text{2}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{3}}& 4\\ \boxed{\text{1}}& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 34\\ \boxed{\text{8}}& 20\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ \boxed{\text{2}}& \boxed{\text{2}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& \boxed{\text{4}}\\ 1& \boxed{\text{6}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 34\\ 8& \boxed{\text{20}}\end{array}\right)$$

En realitat només cal recordar que s'ha de multiplicar "fila per columna". Per exemple, calculem en la següent matriu quin és el valor de l'element assenyalat:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& -2& 5& 0\\ 8& 1& 0& -1& 2\\ 4& 2& 5& 3& 1\\ 0& -2& 3& 5& 3\\ 7& 1& 0& 3& 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccccc}2& 6& 3& -1& 0\\ 8& 2& 4& 6& 1\\ 0& 2& 1& 4& 3\\ 1& 5& 3& 7& 2\\ 5& 8& 3& 9& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}\boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{\text{?}}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\end{array}\right)$$

Haurem de multiplicar la quarta fila per la tercera columna:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& -2& 5& 0\\ 8& 1& 0& -1& 2\\ 4& 2& 5& 3& 1\\ \boxed{\text{0}}& \boxed{\text{-2}}& \boxed{\text{3}}& \boxed{\text{5}}& \boxed{\text{3}}\\ 7& 1& 0& 3& 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccccc}2& 6& \boxed{\text{3}}& -1& 0\\ 8& 2& \boxed{\text{4}}& 6& 1\\ 0& 2& \boxed{\text{1}}& 4& 3\\ 1& 5& \boxed{\text{3}}& 7& 2\\ 5& 8& \boxed{\text{3}}& 9& 2\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{ccccc}\boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& 0\cdot 3+(-2)\cdot 4+3\cdot 1+5\cdot 3+3\cdot 3& \boxed{}& \boxed{}\\ \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}& \boxed{}\end{array}\right)$$

O sigui que en la matriu producte tenim que $a_{43}=19$.

Vegem un altre exemple. Farem el producte de dues matrius $3\times 3$ (serà el cas més complicat que veurem).

A hores d'ara ja ens haurem adonat que multiplicar matrius és una mica molest. Pensem, per exemple, que el producte de dues matrius $4\times 4$ suposa dur a terme $128$ operacions aritmètiques.

Afortunadament, la majoria de les calculadores científiques que hi ha actualment al mercat inclouen el càlcul matricial. Tanmateix, és aconsellable fer com a mínim un cop el producte "a mà" de matrius $3\times 3$ per comprendre la mecànica de les operacions.