Ejercicios de Zona de validez de inecuaciones lineales simultáneas

Desarrollo:

i) Las rectas asociadas a estas inecuaciones son (las hallaremos tomando estrictamente el signo de igualdad en las inecuaciones y aislando la variable $y$): $$\begin{array}{rcl}f& :& 4x+5y=40\Rightarrow 5y=-4x+40\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+8\\ g& :& 2x+5y=30\Rightarrow 5y=-2x+30\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+6\\ h& :& x=0\\ i& :& y=0\end{array}$$

Las dos últimas rectas son respectivamente el eje $y$ y el eje $x$.

Probando el punto $(0,0)$ en las dos primeras inecuaciones vemos que las regiones de validez de estas dos restricciones son por debajo de las rectas (el $(0,0)$ queda por debajo de las rectas y cumple las inecuaciones). En cuanto a las otras dos restricciones, sus regiones de validez son obvias: $x⩾0$ nos dice que solo podemos tener puntos a la derecha del eje $y$ y la última restricción ($y⩾0$) nos dice que su región de validez es por encima del eje $x$. La zona de validez está acotada.

ii) Se determinarán primero todos los puntos de corte entre las rectas y luego se comprobará cuáles de ellos cumplen todas las restricciones (ésos serán los vértices de la región factible).

Puntos de corte:

• $f$ con $g$. Cortarán en el punto $(x_0,y_0)$. Calculamos como en otras ocasiones: $$f(x_0)=g(x_0)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{4}{5}}{x}_0+8=-{\displaystyle \frac{2}{5}}{x}_0+6\Rightarrow x_0=5$$ $$y_0=f(x_0)=g(x_0)=4\Rightarrow (x_0,y_0)=(5,4)$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $f$ con $h$. Cortarán en el punto $(x_1,y_1)$. La recta $h$ nos dice que $x=0$, por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: $$(0,f(0))=(0,8)\Rightarrow (x_1,y_1)=(0,8)$$ Este punto no cumple la inecuación $2x+5y⩽30$, por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible.

• $f$ con $i$: Cortarán en el punto $(x_2,y_2)$. Calculemos estas coordenadas: $$f(x_2)=i(x_2)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{4}{5}}{x}_2+8=0\Rightarrow x_2=10$$ $$y_2=f(x_2)=i(x_2)=0\Rightarrow (x_2,y_2)=(8,0)$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $g$ con $h$: Cortarán en el punto $(x_3,y_3)$. La recta $h$ nos dice que $x=0$, por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: $$(0,g(0))=(0,6)\Rightarrow (x_3,y_3)=(0,6)$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $g$ con $i$: Cortarán en el punto $(x_4,x_4)$. Calculemos estas coordenadas: $$g(x_4)=i(x_4)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{2}{5}}{x}_2+6=0\Rightarrow x_4=15$$ $$y_4=g(x_4)=i(x_4)=0\Rightarrow (x_4,y_4)=(15,0)$$ Este punto no cumple la inecuación $4x+5y⩽40$, por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible.

• $h$ con $i$: Cortarán en el punto $(x_5,x_5)$. Las rectas $h$ e $i$ nos dicen respectivamente que $x=0$ y $y=0$, por lo tanto el punto de corte será (donde cortan los ejes, es decir en el origen): $(x_5,x_5)=(0,0)$. Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

Solución:

i) Las rectas asociadas y regiones de validez de las restricciones son:

• $f:y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+8$ y su región factible está por debajo de la recta.
• $g:y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+6$ y su región factible está por debajo de la recta.
• $h:x=0$ esta recta coincide con el eje $y$, y su región factible está a la derecha de dicho eje.
• $i:y=0$ esta recta coincide con el eje $x$, y su región factible está por encima de dicho eje.

La zona factible común a todas las ineuaciones está acotada.

ii) Los vértices de la zona factible común a todas las restricciones son:

• $(x_0,y_0)=(5,4)$ (punto de corte de $f$ con $g$).

• $(x_2,y_2)=(8,0)$ (punto de corte de $f$ con $i$).

• $(x_3,y_3)=(0,6)$ (punto de corte de $g$ con $h$).

• $(x_5,x_5)=(0,0)$ (punto de corte de $h$ con $i$).

No todos los puntos en que se cortan las rectas son a su vez vértices de la zona factible. Por eso hemos tenido que comprobar qué puntos cumplen todas las restricciones simultáneamente.

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