Dado el sistema de inecuaciones:
i) Determinar las rectas asociadas a las inecuaciones y las regiones de validez de éstas.¿Está acotada la región de validez asociada a todas las inecuaciones simltáneamente?
ii) Determinar los vértices de la región de validez. ¿Son todos los puntos de corte entre las rectas también vértices de la región de validez?
Desarrollo:
i) Las rectas asociadas a estas inecuaciones son (las hallaremos tomando estrictamente el signo de igualdad en las inecuaciones y aislando la variable
Las dos últimas rectas son respectivamente el eje
Probando el punto
ii) Se determinarán primero todos los puntos de corte entre las rectas y luego se comprobará cuáles de ellos cumplen todas las restricciones (ésos serán los vértices de la región factible).
Puntos de corte:
-
con . Cortarán en el punto . Calculamos como en otras ocasiones: Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible. -
con . Cortarán en el punto . La recta nos dice que , por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: Este punto no cumple la inecuación , por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible. -
con : Cortarán en el punto . Calculemos estas coordenadas: Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible. -
con : Cortarán en el punto . La recta nos dice que , por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible. -
con : Cortarán en el punto . Calculemos estas coordenadas: Este punto no cumple la inecuación , por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible. con : Cortarán en el punto . Las rectas e nos dicen respectivamente que y , por lo tanto el punto de corte será (donde cortan los ejes, es decir en el origen): . Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.
Solución:
i) Las rectas asociadas y regiones de validez de las restricciones son:
y su región factible está por debajo de la recta. y su región factible está por debajo de la recta. esta recta coincide con el eje , y su región factible está a la derecha de dicho eje. esta recta coincide con el eje , y su región factible está por encima de dicho eje.
La zona factible común a todas las ineuaciones está acotada.
ii) Los vértices de la zona factible común a todas las restricciones son:
-
(punto de corte de con ). -
(punto de corte de con ). -
(punto de corte de con ). (punto de corte de con ).
No todos los puntos en que se cortan las rectas son a su vez vértices de la zona factible. Por eso hemos tenido que comprobar qué puntos cumplen todas las restricciones simultáneamente.