Exercicis de Zona de validesa d'inequacions lineals simultànies

Desenvolupament:

i) Les rectes associades a aquestes inequacions són les següents (les trobarem prenent estrictament el signe d'igualtat en les inequacions i aïllant la variable $y$): $$\begin{array}{rcl}f& :& 4x+5y=40\Rightarrow 5y=-4x+40\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+8\\ g& :& 2x+5y=30\Rightarrow 5y=-2x+30\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+6\\ h& :& x=0\\ i& :& y=0\end{array}$$

Les dues últimes rectes són respectivament l'eix $y$ i l'eix $x$.

Provant el punt $(0,0)$ en les dues primeres inequacions veiem que les regions de validesa d'aquestes dues restriccions són per sota de les rectes (el $(0,0)$ queda per sota de les rectes i compleix les inequacions). Pel que fa a les altres dues restriccions, les seves regions de validesa són òbvies: $x⩾0$ ens diu que només podem tenir punts a la dreta de l'eix $y$ i l'última restricció ($y⩾0$) ens diu que la seva regió de validesa és per sobre de l'eix $x$. La zona de validesa està acotada.

ii) Es determinaran primer tots els punts de tall entre les rectes i després es comprovarà quins d'ells compleixen totes les restriccions (aquests seran els vèrtexs de la regió factible).

Punts de tall:

• $f$ amb $g$. Tallaran al punt $(x_0,y_0)$. Calculem com en altres ocasions: $$f(x_0)=g(x_0)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{4}{5}}{x}_0+8=-{\displaystyle \frac{2}{5}}{x}_0+6\Rightarrow x_0=5$$ $$y_0=f(x_0)=g(x_0)=4\Rightarrow (x_0,y_0)=(5,4)$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $f$ amb $h$. Tallaran al punt $(x_1,y_1)$. La recta $h$ ens diu que $x=0$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$(0,f(0))=(0,8)\Rightarrow (x_1,y_1)=(0,8)$$ Aquest punt no compleix la inequació $2x+5y⩽30$, Per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

• $f$ amb $i$: Tallaran al punt $(x_2,y_2)$. Calculem aquestes coordenades: $$f(x_2)=i(x_2)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{4}{5}}{x}_2+8=0\Rightarrow x_2=10$$ $$y_2=f(x_2)=i(x_2)=0\Rightarrow (x_2,y_2)=(8,0)$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $g$ amb $h$: Tallaran al punt $(x_3,y_3)$. La recta $h$ ens diu que $x=0$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$(0,g(0))=(0,6)\Rightarrow (x_3,y_3)=(0,6)$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $g$ amb $i$: Tallaran al punt $(x_4,x_4)$. Calculem aquestes coordenades: $$g(x_4)=i(x_4)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{2}{5}}{x}_2+6=0\Rightarrow x_4=15$$ $$y_4=g(x_4)=i(x_4)=0\Rightarrow (x_4,y_4)=(15,0)$$ Aquest punt no compleix la inequació $4x+5y⩽40$, per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

• $h$ amb $i$: Tallaran al punt $(x_5,x_5)$. Les rectes $h$ i $i$ ens diuen respectivament que $x=0$ i $y=0$, per tant el punt de tall serà on tallen els eixos, és a dir en l'origen: $(x_5,x_5)=(0,0)$. Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

Solució:

i) Les rectes associades i regions de validesa de les restriccions són:

• $f:y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+8$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
• $g:y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+6$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
• $h:x=0$ aquesta recta coincideix amb l'eix $y$, i la seva regió factible és a la dreta d'aquest eix.
• $i:y=0$ aquesta recta coincideix amb l'eix $x$, i la seva regió factible està per sobre d'aquest eix.

La zona factible comú a totes les inequacions està fitada.

ii) Els vèrtexs de la zona factible comuna a totes les restriccions són:

• $(x_0,y_0)=(5,4)$ (punt de tall de $f$ amb $g$).

• $(x_2,y_2)=(8,0)$ (punt de tall de $f$ amb $i$).

• $(x_3,y_3)=(0,6)$ (punt de tall de $g$ amb $h$).

• $(x_5,x_5)=(0,0)$ (punt de tall de $h$ amb $i$).

No tots els punts en què es tallen les rectes són vèrtexs de la zona factible. Per això hem hagut de comprovar quins punts compleixen totes les restriccions simultàniament.

Amagar desenvolupament i solució