Zona de validesa d'inequacions lineals simultànies

Exemple

Es tenen les següents restriccions: $$\begin{array}{rcl}x+4& ⩾& 4\\ y& ⩽& 4\\ y& ⩾& x\end{array}$$

que tenen per rectes associades: $$\begin{array}{l}r(x):y=-x+4\\ s(x):y=4\\ t(x):y=x\end{array}$$

Podem visualitzar aquestes rectes i determinar els semiplans on es compleix cada inequació per separat.

Per a la recta $r$:

Com que no es compleix la inequació al punt $(0,0)$, $0+0⪈4$, veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sobre de la recta.

Per a la recta $s$:

Com es compleix la inequació al punt $(0,0)$, $0⩽4$, veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sota de la recta.

Per a la recta $t$:

Com es compleix la inequació al punt $(0,1)$, $1⩾0$ veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sobre de la recta.

En conjunt tenim doncs:

La zona on coincideixen tots els semiplans és la regió factible. Veiem que en aquest cas es tracta també d'una zona delimitada.

S'ha de realitzar ara el càlcul dels vèrtexs d'aquesta zona. Per a això es necessitarà saber el punt en què es tallen les rectes dos a dos. Haurem de trobar tres punts de tall: el de la recta $r$ amb la $s$, la $r$ amb la $t$ i la $s$ amb la $t$.

Exemple

Tornem a l'exemple.

Punt de tall entre $r$ i $s$:

S'han de trobar les coordenades $x$ i $y$ del punt d'intersecció. A les coordenades d'aquest punt els anomenarem $x_0$ i $y_0$.

Per trobar la coordenada $x$ en què es tallen les rectes, $x_0$, igualem les dues funcions $r(x)=-x+4$ i $s(x)=4$ en el punt en que es tallen les rectes ($x_0$):

$$r(x_0)=s(x_0)\Rightarrow -x_0+4=4\Rightarrow x_0=0$$

Per tant les dues rectes es tallen en $x_0=0$.

Determinar la coordenada $y$ del punt de tall, $y_0$ és senzill, ja que és el valor que prenen tant la funció $r(x)$ com $s(x)$ a $x=x_0$.

$$y_0=r(x_0)=s(x_0)\Rightarrow y_0=r(0)=s(0)=-0+4=4$$

Per tant el punt de tall entre les rectes $r$ i $s$ és: $(x_0=0,y_0=4)$.

Punt de tall entre $r$ i $t$:

Es procedeix igual que en el cas anterior. Igualem les funcions $r(x)=-x+4$ i $t(x)=x$ en el punt de tall, que aquesta vegada tindrà per coordenades $(x_1,y_1)$.

$$r(x_1)=t(x_1)\Rightarrow -x_1+4=x_1\Rightarrow x_1=2$$

Com en el cas anterior, la coordenada $y$ del punt de tall, $y_1$, és igual al valor que prenen les funcions $r(x)$ i $t(x)$ en el punt de tall:

$$y_1=r(x_1)=t(x_1)=-2+4=2$$

Així doncs, les coordenades del punt de tall són: $(x_1=2,y_1=2)$.

Punt de tall entre $s$ i $t$:

Aquest punt de tall tindrà per coordenades $(x_2,y_2)$. Primer determinem el valor de $x_2$ com en els casos anteriors, és a dir igualant $s(x)=4$ i $t(x)=x$ en el punt de tall $x_2$: $$s(x_2)=t(x_2)\Rightarrow 4=x_2$$

Es determina el valor de la coordenada $y$ del punt de tall, $y_2$ com en les anteriors ocasions: $$y_2=s(x_2)=t(x_2)=4$$

Per tant, el punt de tall entre les rectes $s(x)$ i $t(x)$ és el que té per coordenades: $(x_2=4,y_2=4)$.

Així doncs els vèrtexs de la regió de validesa tenen per coordenades: $$(x_0,y_0)=(0,4)(x_1,y_1)=(2,2)(x_2,y_2)=(4,4)$$

Exemple

Considerant el sistema d'inequacions següent: $$\begin{array}{rcl}x& ⩾& 0\\ y& ⩽& 4\\ y& ⩾& {\displaystyle \frac{x}{2}}\end{array}$$

Busquem primer les rectes associades a cada inequació i les zones de validesa de cadascuna:

• La primera d'elles ens dóna una recta paral.lela a l'eix $y$ en $x=0$ i la seva regió de validesa és la que té $x$ major que $0$ (cap a la dreta de l'eix $y$).
• La segona és una recta paral·lela a l'eix $x$, que passa per $y=4$ i té com a regió de validesa el semiplà que té per sota (on $y$ és menor que $4$).
• La tercera recta és $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ i la seva regió de validesa és la que està per sobre de la recta (es pot comprovar fàcilment, veient que el punt $(0,1)$ compleix la inequació: $1⩾$).

Determinarem els vèrtexs de la zona de validesa com els punts de tall entre les diferents rectes.

• La recta $x=0$ talla amb $y=4$ en el punt $(x_0=0,y_0=4)$.
• La recta $x=0$ talla amb $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ al punt $(x_1=0,y_1=0)$.
• La recta $y=4$ talla amb $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ al punt $(x_2=8,y_2=0)$.

Per tant, els vèrtexs de la regió de validesa són: $$(x_0,y_0)=(0,4)(x_1,y_1)=(0,0)(x_2,y_2)=(8,0)$$

Exemple

Donat el conjunt de restriccions:

$$\begin{array}{rcl}x+3& ⩾& y\\ 8& ⩾& x+y\\ y& ⩾& x-3\\ x& ⩾& 0\\ y& ⩾& 0\end{array}$$

Busquem primer les rectes associades a cada restricció i les zones de validesa de cada inequació (comprovant amb un punt en les inequacions). Les rectes associades són:

$$\begin{array}{l}f:y=3+x\\ g:y=-x+8\\ h:y=x-3\\ i:x=0\\ j:y=0\end{array}$$

Dibuixant les rectes i les zones de validesa podem visualitzar la regió de validesa.

Si no podem fer el dibuix tenim una alternativa. Havent-hi tantes rectes, normalment es tindran més punts de tall entre les rectes, que vèrtexs a la zona de validesa. Per aquest motiu, no tots els punts de tall entre les diferents rectes seran vèrtexs de la regió de validesa. Per reconèixer quins són els vèrtexs de la regió de validesa es farà el següent:

• Es calculen tots els punts de tall entre les diferents rectes.

• Aquells punts de tall en què es compleixin a la vegada totes les restriccions seran els vèrtexs de la zona de validesa (i així podrem dibuixar-la, si no ho hem fet abans).

Procedint d'aquesta manera amb el problema, anem a calcular tots els punts de tall entre les diferents rectes:

• $f$ amb $g$ es tallarà al punt $(x_0,y_0)$. Calculem les coordenades del punt: $$f(x_0)=g(x_0)\Rightarrow 3+x_0=-x_0+8\Rightarrow x_0={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ I la coordenada $y$: $$y_0=f(x_0)=g(x_0)={\displaystyle \frac{11}{2}}$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{11}{2}})$.

• $f$ amb $h$ es tallarà al punt $(x_1,y_1)$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$f(x_1)=h(x_1)\Rightarrow 3+x_1=x_1-3\Rightarrow 3=-3$$ Veiem que en intentar trobar la coordenada $x$ del punt de tall ens apareix una equació que no es compleix. Això vol dir que les dues rectes són en realitat paral.leles (per tant no es tallen mai).

• $f$ amb $i$ es tallarà al punt $(x_2,y_2)$. La recta $f(x)=3+x$ es tallarà amb la recta $x=0$ (recta que coincideix amb l'eix $y$) en el punt $(x=0,y=f(0))$. És a dir: $(x_2,y_2)=(0,3)$.

• $f$ amb $j$ es tallarà al punt $(x_3,y_3)$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$f(x_3)=j(x_3)\Rightarrow 3+x_3=0\Rightarrow x_3=-3$$ I la coordenada $y$, $$y_3=f(x_3)=j(x_3)=0$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_3,y_3)=(-3,0)$.

• $g$ amb $h$ es tallarà al punt $(x_4,y_4)$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$g(x_4)=h(x_4)\Rightarrow -x_4+8=x_4-3\Rightarrow x_4={\displaystyle \frac{11}{2}}$$ I la coordenada $y$: $$y_4=g(x_4)=h(x_4)={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_4,y_4)=({\displaystyle \frac{11}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$.

• $g$ amb $i$ es tallarà al punt $(x_5,y_5)$. La recta $i$ ens diu que $x=0$, per tant el punt de tall serà: $(0,g(0))=(0,8)$. Per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_5,y_5)=(0,8)$.

• $g$ amb $j$ es tallarà al punt $(x_6,y_6)$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$g(x_6)=j(x_6)\Rightarrow -x_6+8=0\Rightarrow x_6=8$$ I la coordenada $y$: $$y_6=g(x_6)=j(x_6)=0$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_6,y_6)=(8,0)$.

• $h$ amb $i$ es tallarà al punt $(x_7,y_7)$. La recta $i$ ens diu que $x=0$, per tant el punt de tall serà: $(0,h(0))=(0,-3)$. Per tant les coordenades del punt de tall són:$(x_7,y_7)=(0,-3)$.

• $h$ amb $j$ es tallarà al punt $(x_8,y_8)$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$h(x_8)=j(x_8)\Rightarrow x_8-3=0\Rightarrow x_8=3$$ I la coordenada $y$: $$y_8=h(x_8)=j(x_8)=0$$ Per tant les coordenades del punt de tall són:$(x_8,y_8)=(3,8)$.

• $i$ amb $j$ es tallarà al punt $(x_9,y_9)$. La recta $i$ ens diu que $x=0$, i la $j$ que $y=0$, per tant les coordenades del punt de tall són: $(x_9,y_9)=(0,0)$.

Determinació dels vèrtexs de la zona de validesa:

Es tenen nou punts de tall entre les rectes. Com s'ha dit abans, s'ha de comprovar en quins punts es compleixen totes les inequacions, i aquests seran els vèrtexs de la regió de validesa.

$$\begin{array}{l}(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{11}{2}})\text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_2,y_2)=(0,3)\text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_3,y_3)=(-3,0)\text{ no es compleix la inequació }x⩾0.\\ (x_4,y_4)=({\displaystyle \frac{11}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})\text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_5,y_5)=(0,8)\text{ no es compleix la inequació }x+3⩾y.\\ (x_6,y_6)=(8,0)\text{ no es compleix la inequació }y⩾x-3.\\ (x_7,y_7)=(0,-3)\text{ no es compleix la inequació }y⩾0.\\ (x_8,y_8)=(3,8)\text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_9,y_9)=(0,0)\text{ es compleixen totes les inequacions.}\end{array}$$

Per tant els vèrtexs de la regió de validesa són: $$(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{11}{2}})(x_2,y_2)=(0,3)(x_4,y_4)=({\displaystyle \frac{11}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$$ $$(x_8,y_8)=(3,8)(x_9,y_9)=(0,0)$$