Amplificació i simplificació de radicals

Per treballar amb expressions que ens siguin còmodes hi ha processos que ens simplifiquen les arrels. Vegem quins són:

Si es multipliquen (s'amplifiquen) o divideixen (simplifiquen) l'índex i l'exponent d'un radical per un mateix nombre no nul, el radical que s'obté és equivalent al primer.

És a dir, els radicals són equivalents perquè els exponents de les potències associades són fraccions equivalents.

Exemple

$\sqrt[3]{4^{2}} = 4^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt[6]{4^{4}}$

És equivalent a dividir l'exponent d'una potència per l'índex de l'arrel a tenir l'arrel d'aquest número.

Si un factor del radicand té un exponent que no és múltiple de l'índex de l'arrel el factor podrà separar-se de manera que un exponent sigui divisible per l'índex.

Exemple

$\sqrt{3^{7}} = \sqrt{3^{6} \cdot 3} = \sqrt{3^{6}} \cdot \sqrt{3} = 3^{\frac{6}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{3} \cdot \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$

Alguns radicals es poden convertir en una forma equivalent més fàcil d'emprar. Un radical està en la seva forma més simple quan no es pot extreure cap factor d'ell, quan no hi ha fracció sota el signe radical i quan l'índex de l'arrel no pot reduir-se.

És possible extreure un factor del radical si aquest apareix un nombre de vegades igual a l'índex de l'arrel.

Els exemples que segueixen il·lustren això:

Exemple

$\begin{array}{rcl} \sqrt{28} & = & \sqrt{2^{2} \cdot 7} = 2^{\frac{2}{2}} \sqrt{7} = 2 \sqrt{7} \\ \sqrt[5]{160} & = & \sqrt[5]{2^{5} \cdot 5} = 2^{\frac{5}{5}} \sqrt[5]{5} = 2 \sqrt{5} \end{array}$

Per poder simplificar radicals amb facilitat convé conèixer els quadrats dels nombres enters fins a $25$ i algunes de les potències més petites dels números $2, 3, 4$ i $5$ . Les següents taules són de gran utilitat.

$\begin{array}{rclrclrcl} 1^{2} & = & 1 & 11^{2} & = & 121 & 21^{2} & = & 441 \\ 2^{2} & = & 4 & 12^{2} & = & 144 & 22^{2} & = & 484 \\ 3^{2} & = & 9 & 13^{2} & = & 169 & 23^{2} & = & 529 \\ 4^{2} & = & 16 & 14^{2} & = & 196 & 24^{2} & = & 576 \\ 5^{2} & = & 25 & 15^{2} & = & 225 & 25^{2} & = & 625 \\ 6^{2} & = & 36 & 16^{2} & = & 256 \\ 7^{2} & = & 49 & 17^{2} & = & 289 \\ 8^{2} & = & 64 & 18^{2} & = & 324 \\ 9^{2} & = & 81 & 19^{2} & = & 361 \\ 10^{2} & = & 100 & 20^{2} & = & 400 \end{array}$ $\begin{array}{rclrclrclrcl} 2^{3} & = & 8 & 3^{3} & = & 27 & 4^{3} & = & 64 & 5^{3} & = & 125 \\ 2^{4} & = & 16 & 3^{4} & = & 81 & 4^{4} & = & 256 & 5^{4} & = & 625 \\ 2^{5} & = & 32 & 3^{5} & = & 243 & 4^{5} & = & 1024 & 5^{5} & = & 3125 \end{array}$