Para trabajar con expresiones que nos sean cómodas existen procesos que nos simplifican los raíces. Veamos cuales son:
Si se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el índice y el exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es equivalente al primero.
Es decir, los radicales son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son fracciones equivalentes.
$$\displaystyle \sqrt[3]{4^2}= 4^{\frac{2}{3}}=4^{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{2}}=\sqrt[6]{4^4}$$
Es equivalente a dividir el exponente de una potencia por el índice de la raíz a tener la raíz de dicho número.
Si un factor del radicando tiene un exponente que no es múltiplo del índice de la raíz el factor podrá separarse de modo que un exponente sea divisible por el índice.
$$\displaystyle \sqrt{3^7}=\sqrt{3^6\cdot 3}=\sqrt{3^6}\cdot \sqrt{3}=3^{\frac{6}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^3\cdot \sqrt{3}=27\sqrt{3}$$
Algunos radicales pueden convertirse a una forma equivalente más fácil de emplear. Un radical está en su forma más simple cuando no puede extraerse ningún factor de él, cuando no hay fracción bajo el signo radical y cuando el índice de la raíz no puede reducirse.
Es posible extraer un factor del radical si éste aparece un número de veces igual al índice de la raíz.
Los ejemplos que siguen ilustran esto:
$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sqrt{28}&=&\sqrt{2^2\cdot 7}=2^{\frac{2}{2}}\sqrt{7}=2\sqrt{7} \\ \sqrt[5]{160}&=&\sqrt[5]{2^5\cdot 5}=2^{\frac{5}{5}}\sqrt[5]{5}=2\sqrt{5}\end{array}$$
Para poder simplificar radicales con facilidad conviene conocer los cuadrados de los números enteros hasta $$25$$ y algunos de las potencias más pequeñas de los números $$2$$, $$3$$, $$4$$ y $$5$$. Las siguientes tablas son de gran utilidad.
$$$\begin{array}{rclrclrcl} 1^2&=&1&11^2&=&121&21^2&=&441 \\\\ 2^2&=&4&12^2&=&144&22^2&=&484\\\\ 3^2&=&9&13^2&=&169&23^2&=&529 \\\\ 4^2&=&16&14^2&=&196&24^2&=&576 \\\\ 5^2&=&25&15^2&=&225&25^2&=&625 \\\\ 6^2&=&36 & 16^2&=& 256 &&&\\\\7^2&=&49& 17^2&=& 289 &&& \\\\ 8^2&=&64& 18^2&=& 324 &&& \\\\ 9^2&=&81& 19^2&=& 361 &&& \\\\ 10^2&=&100& 20^2&=& 400 &&&\end{array}$$$$$\begin{array}{rclrclrclrcl} 2^3&=&8 & 3^3&=&27 & 4^3&=&64 & 5^3&=&125 \\\\2^4&=&16 & 3^4&=&81 & 4^4&=&256 & 5^4&=&625 \\\\ 2^5&=&32 & 3^5&=&243 & 4^5&=&1024 & 5^5&=&3125 \end{array}$$