Exercicis de Angles entre rectes

Desenvolupament:

Per trobar aquesta recta bisectriu, que anomenarem $b$, cal tenir en compte 2 coses:

• Sabem que passa pel punt intersecció de les rectes $r$ i $s$ (per ser la bisectriu).
• La recta formarà el mateix angle amb $r$ que amb $s$.

Busquem primer la intersecció de $r$ i $s$: $$\{\begin{array}{c}x+y-1=0\\ y=2x+3\end{array}$$ $$x+(2x+3)-1=0\to 3x+2=0\to x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$y=2\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})+3=-{\displaystyle \frac{4}{3}}+3={\displaystyle \frac{5}{3}}$$ Per tant la recta $b$ buscada passarà pel punt $P=(-2/3,5/3)$.

Busquem ara els vectors directors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ de les rectes $r$ i $s$ respectivament.

$\overrightarrow{u}=(1,-1),\overrightarrow{v}=(1,2)$

Vegem quin és l'angle que formen aquests vectors amb l'eix horitzontal $OX$:

$tg({\alpha }_1)={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1\Rightarrow {\alpha }_1=-{45}^{\circ }$

$tg({\alpha }_2)={\displaystyle \frac{2}{1}}=2\Rightarrow {\alpha }_2=63,{435}^{\circ }$

Per tant ens trobem davant d'una situació del tipus:

a la figura considerem ${\alpha }_1$ i ${\alpha }_2$ en valor absolut.

Vegem 4 maneres de resoldre el problema. Començarem per un mètode poc rigorós.

Ara podríem agafar els angles, sumar-los, dividir el resultat entre dos i sumar-ho a $-{45}^{\circ }$ per saber que angle té la recta $b$ respecte l'eix horitzontal $OX$.

No obstant això, aquesta solució seria poc elegant i imprecisa ja que perdríem decimals pel camí.

Fem-ho tot i així:

${\alpha }_1=-{45}^{\circ }$

${\alpha }_2=63,{435}^{\circ }$

$${\displaystyle \frac{|{\alpha }_1-{\alpha }_2|}{2}}={\displaystyle \frac{|-45-63,435|}{2}}={\displaystyle \frac{|-108,435|}{2}}=54,{2175}^{\circ }=a$$ (que és l'angle entre $b$ i $r$ o $b$ i $s$).

Ara fem ${\alpha }_1+a=9,2175..{.}^{\circ }$ que serà l'angle que forma la recta buscada $b$ amb la horitzontal.

Per tant tenim que el pendent de la recta $b$ és: $$m=tg(9,{2175}^{\circ })=0,16227812...$$ I així tenim un vector director de la recta $b$, que serà $\overrightarrow{w}=(1,m)=(1,0.16228)$

I utilitzant l'equació vectorial tenim,

$b:(x,y)=(-2/3,5/3)+k\cdot (1,0.16228)$

El procediment anterior pot ser aplicat de manera semblant però amb resultats exactes usant les següents fórmules trigonomètriques:

$$tg(A)=-tg(-A)\Rightarrow tg(-{\alpha }_1)=-tg({\alpha }_1)=-(-1)=1$$

$$tg(A+B)={\displaystyle \frac{tg(A)+tg(B)}{1-tg(A)tg(B)}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow tg(|{\alpha }_1-{\alpha }_2|)=tg({\alpha }_2+(-{\alpha }_1))={\displaystyle \frac{1+2}{1-2}}=-3$$

$$tg(A)=u\Rightarrow \cos (A)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \cos (|{\alpha }_1-{\alpha }_2|)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2(|{\alpha }_1-{\alpha }_2|)}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{10}}}$$

$$tg({\displaystyle \frac{A}{2}})=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos (A)}{1+\cos (A)}}}$$ amb el signe $\pm$ corresponent segons el quadrant en què es trobi l'angle ${\displaystyle \frac{A}{2}}$) $$\Rightarrow tg({\displaystyle \frac{|{\alpha }_1-{\alpha }_2|}{2}})=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos (|{\alpha }_1-{\alpha }_2|)}{1+\cos (|{\alpha }_1-{\alpha }_2|)}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}}}}=$$ $$=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}}}}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}-1}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{10+2\sqrt{10}+1}{9}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}}$$

En realitat aquí tenim el pendent d'una recta d'uns ${54}^{\circ }$. Nosaltres en realitat volem el pendent de la de $(54-45{)}^{\circ }$.

$$tg(A-B)={\displaystyle \frac{tg(A)-tg(B)}{1+tg(A)tg(B)}}\Rightarrow tg({\displaystyle \frac{|{\alpha }_1-{\alpha }_2|}{2}}-45)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}}-1}{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}-3}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}+3}}\simeq 0,16227766$$

Per tant podem escriure l'equació de la recta $b$ de manera exacta com: $$(x,y)=({\displaystyle \frac{-2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+k\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}-3}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}+3}})$$

Un altre mètode també rigorós per a l'obtenció de solucions seria el següent:

Suposem que la recta buscada té equació $Ax+By+C=0$.

Per passar pel punt $(-2/3,5/3)$ tenim:

$$-{\displaystyle \frac{2}{3}}A+{\displaystyle \frac{5}{3}}B+C=0$$

Ara sabem que

$$\cos (\widehat{r,s})=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}}={\displaystyle \frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{|1\cdot 1+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{|-1|}{\sqrt{5}\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$$ o si ho preferim $={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$.

i que, per trigonometria,

$$\cos ({\displaystyle \frac{\widehat{r,s}}{2}})=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos (\widehat{r,s})}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}}}}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}}$$

Podem imposar la condició de que els angles siguin iguals de la bisectriu, sabent que el vector director de $b$ és $\hat{w}=(-B,A)$, (Nota: $|x|=\sqrt{x^2}$).

$$\cos (\widehat{r,s})={\displaystyle \frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}}$$ $$\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{(-B+2A{)}^2}}{\sqrt{5}\sqrt{A^2+B^2}}}$$ $$\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{(-B-A{)}^2}}{\sqrt{2}\sqrt{A^2+B^2}}}$$

I si ajuntem les 3 equacions i resolem:

$$-{\displaystyle \frac{2}{3}}A+{\displaystyle \frac{5}{3}}B+C=0$$ $$\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{(-B+2A{)}^2}}{\sqrt{5}\sqrt{A^2+B^2}}}$$ $$\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{(-B-A{)}^2}}{\sqrt{2}\sqrt{A^2+B^2}}}$$ $$\iff$$ $$C={\displaystyle \frac{2}{3}}A-{\displaystyle \frac{5}{3}}B$$ $${\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(-B+2A{)}^2}{5(A^2+B^2)}}$$ $${\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(-B-A{)}^2}{2(A^2+B^2)}}$$

Imposem $B=-1$ (Per a comprovar que obtenim el mateix resultat ja que el vector director serà del tipus $(1,m)$) i busquem una solució que compleix les tres equacions: $$C={\displaystyle \frac{2}{3}}A-{\displaystyle \frac{5}{3}}(-1)$$ $${\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(1+2A{)}^2}{5(A^2+1)}}$$ $${\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(1-A{)}^2}{2(A^2+1)}}$$ Dividim: $$1={\displaystyle \frac{2(1+2A{)}^2}{5(1-A{)}^2}}$$ $$5-10A+5A^2=2+8A+8A^2$$ $$3A^2+18A-3=0$$ $$A={\displaystyle \frac{-18\pm \sqrt{{18}^2+4\cdot 3\cdot 3}}{6}}=-3\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}}$$

Si evaluem les solucions tenim: $$A_1=-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}}\simeq 0,16227766$$ $$A_2=-3-{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}}\simeq -6,16227766$$

Òbviament ens quedem amb la solució positiva ja que al ser $-B=1$, tenim $A=m=tg(\widehat{b,OX})$ que pertany al primer quadrant. Així, $C={\displaystyle \frac{2}{3}}(-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}})+{\displaystyle \frac{5}{3}}$ i sense arreglar, l'equació de la recta queda: $$(-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}})x-y+({\displaystyle \frac{2}{3}}(-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}})+{\displaystyle \frac{5}{3}})=0$$

Finalment, un altre procediment geomètric, molt elegant i que no necessita de l'ús de trigonometria, seria el emular la construcció geomètrica de la bisectriu:

Agafem vectors directors de les rectes $r$ i $s$: $$\overrightarrow{u}=(1,-1),\overrightarrow{v}=(1,2)$$ Els fem unitaris, és a dir, de mòdul 1: $$\overrightarrow{u}=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})$$ Els apliquem al punt de tall $P$ de les rectes $r$ i $s$, obtenint així punts equidistants al vèrtex de l'angle a bisectar sobre les rectes anteriors:

$$a=P+\overrightarrow{u}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=({\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+3}{3\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-3}{3\sqrt{2}}})$$ $$b=P+\overrightarrow{v}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})=({\displaystyle \frac{-2\sqrt{5}+3}{3\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}+6}{3\sqrt{5}}})$$

Si ara trobem el punt mitjà $M$ del segment $AB$, tindrem un altre punt de la bisectriu $b$ (juntament amb $P$) i per tant ja la podrem construir: $$M=({\displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}},{\displaystyle \frac{a_2+b_2}{2}})$$ $$M=({\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+3}{6\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{-2\sqrt{5}+3}{6\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-3}{6\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}+6}{6\sqrt{5}}})=$$ $$=({\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}-4\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}},{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}+10\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}})$$ I per tant ja tenim dos punts de la recta $b$, bisectriu de $r$ i $s$, i la podem construir amb el punt $P$ i el vector $\overrightarrow{PM}$: $$\overrightarrow{PM}=({\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}-4\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}},{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}+10\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}})-(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})=$$ $$=({\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}},{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}})$$

I així la recta $b$ és: $$b:(x,y)=P+k\cdot \overrightarrow{PM}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+k\cdot ({\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}},{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}})$$

Solució:

Qualsevol de les següents solucions és vàlida:

$b:(x,y)=(-2/3,5/3)+k\cdot (1,0.16228)$

$(x,y)=({\displaystyle \frac{-2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+k\cdot ({\displaystyle \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}-3}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}+3}})$

$(x,y)=P+k\cdot \overrightarrow{PM}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})+k\cdot ({\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}},{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}})$

$(-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}})x-y+({\displaystyle \frac{2}{3}}(-3+{\displaystyle \frac{\sqrt{360}}{6}})+{\displaystyle \frac{5}{3}})=0$

Amagar desenvolupament i solució