Ejercicios de Ángulos entre rectas

Encontrad la bisectriz (recta) del ángulo formado entre las rectas $r : x + y - 1 = 0$ y $s : y = 2 x + 3$ .

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

Para encontrar dicha recta bisectriz, llamémosla $b$ , hay que tener en cuenta 2 cosas:

Sabemos que pasa por el punto intersección de las rectas $r$ y $s$ (por ser la bisectriz).
La recta formará el mismo ángulo con $r$ que con $s$ .

Buscamos primero la intersección de $r$ y $s$ : ${\begin{matrix} x + y - 1 = 0 \\ y = 2 x + 3 \end{matrix}$ $x + (2 x + 3) - 1 = 0 \to 3 x + 2 = 0 \to x = - \frac{2}{3}$ $y = 2 \cdot (- \frac{2}{3}) + 3 = - \frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3}$ Por tanto la recta $b$ buscada pasará por el punto $P = (- 2 / 3, 5 / 3)$ .

Buscamos ahora los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de las rectas $r$ y $s$ respectivamente.

$\vec{u} = (1, - 1), \vec{v} = (1, 2)$

Veamos que ángulo forman dichos vectores con el eje horizontal $O X$ :

$t g (α_{1}) = \frac{- 1}{1} = - 1 \Rightarrow α_{1} = - 45^{\circ}$

$t g (α_{2}) = \frac{2}{1} = 2 \Rightarrow α_{2} = 63, 435^{\circ}$

Por tanto nos encontramos ante una situación del tipo:

imagen

en la figura consideramos $α_{1}$ y $α_{2}$ en valor absoluto.

Veamos 4 maneras de resolver el problema. Empezaremos por la menos rigurosa.

Ahora podríamos coger los ángulos, sumarlos, dividir el resultado entre dos y sumárselo a $- 45^{\circ}$ para saber que ángulo tiene la recta b respecto el eje horizontal $O X$ .

No obstante, esta solución sería poco elegante e imprecisa ya que perderíamos decimales por el camino.

Hagámoslo aún así:

$α_{1} = - 45^{\circ}$

$α_{2} = 63, 435^{\circ}$

$\frac{| α_{1} - α_{2} |}{2} = \frac{| - 45 - 63, 435 |}{2} = \frac{| - 108, 435 |}{2} = 54, 2175^{\circ} = a$ (que es el ángulo entre $b$ y $r$ o $b$ y $s$ ).

Ahora hacemos $α_{1} + a = 9, 2175. . .^{\circ}$ que será el ángulo que forma la recta buscada $b$ con la horizontal.

Por tanto tenemos que el pendiente de la recta $b$ es: $m = t g (9, 2175^{\circ}) = 0, 16227812. . .$ Y así tenemos un vector director de la recta $b$ , que será $\vec{w} = (1, m) = (1, 0.16228)$

Y utilizando la ecuación vectorial tenemos,

$b : (x, y) = (- 2 / 3, 5 / 3) + k \cdot (1, 0.16228)$

El procedimiento anterior puede ser aplicado de forma parecida pero con resultados exactos usando las siguientes fórmulas trigonométricas:

$t g (A) = - t g (- A) \Rightarrow t g (- α_{1}) = - t g (α_{1}) = - (- 1) = 1$

$t g (A + B) = \frac{t g (A) + t g (B)}{1 - t g (A) t g (B)} \Rightarrow$ $\Rightarrow t g (| α_{1} - α_{2} |) = t g (α_{2} + (- α_{1})) = \frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3$

$t g (A) = u \Rightarrow \cos (A) = \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \Rightarrow$ $\Rightarrow \cos (| α_{1} - α_{2} |) = \frac{1}{\sqrt{1 + t g^{2} (| α_{1} - α_{2} |)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (- 3)^{2}}} = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

$t g (\frac{A}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (A)}{1 + \cos (A)}}$ con el signo $\pm$ correspondiente según el cuadrante en que se encuentre el ángulo $\frac{A}{2}$ ) $\Rightarrow t g (\frac{| α_{1} - α_{2} |}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (| α_{1} - α_{2} |)}{1 + \cos (| α_{1} - α_{2} |)}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{10}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{10}}}} =$ $= \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{10} + 1}{\sqrt{10}}}{\frac{\sqrt{10} - 1}{\sqrt{10}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{\sqrt{10} - 1}} = \sqrt{\frac{10 + 2 \sqrt{10} + 1}{9}} = \frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}}}{3}$

En realidad aquí tenemos el pendiente de una recta de unos $54^{\circ}$ . Nosotros en realidad queremos el pendiente de la de $(54 - 45)^{\circ}$ .

$t g (A - B) = \frac{t g (A) - t g (B)}{1 + t g (A) t g (B)} \Rightarrow t g (\frac{| α_{1} - α_{2} |}{2} - 45) = \frac{\frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}}}{3} - 1}{1 + \frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}}}{3}} =$ $= \frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} - 3}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} + 3} ≃ 0, 16227766$

Por tanto podemos escribir la ecuación de la recta $b$ de manera exacta como: $(x, y) = (\frac{- 2}{3}, \frac{5}{3}) + k \cdot (\frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} - 3}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} + 3})$

Otro método también riguroso para la obtención de soluciones sería el siguiente:

Suponemos que la recta buscada tiene ecuación $A x + B y + C = 0$ .

Por pasar por el punto $(- 2 / 3, 5 / 3)$ tenemos:

$- \frac{2}{3} A + \frac{5}{3} B + C = 0$

Ahora sabemos que

$\cos (\hat{r, s}) = | \cos \hat{(\vec{u}, \vec{v})} | = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |} = \frac{| u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}} =$ $= \frac{| 1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}} \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{| - 1 |}{\sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ o si lo preferimos $= \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

y que, por trigonometría,

$\cos (\frac{\hat{r, s}}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\hat{r, s})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{10}}}{2}} \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{10} + 1}{\sqrt{10}}}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}}}$

Podemos imponer la condición de ángulos iguales de la bisectriz, sabiendo que el vector director de $b$ es $\hat{w} = (- B, A)$ , (Nota: $| x | = \sqrt{x^{2}}$ ).

$\cos (\hat{r, s}) = \frac{| u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} |}{\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}}$ $\sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{(- B + 2 A)^{2}}}{\sqrt{5} \sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ $\sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{(- B - A)^{2}}}{\sqrt{2} \sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Y si juntamos las 3 ecuaciones y resolvemos:

$- \frac{2}{3} A + \frac{5}{3} B + C = 0$ $\sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{(- B + 2 A)^{2}}}{\sqrt{5} \sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ $\sqrt{\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{(- B - A)^{2}}}{\sqrt{2} \sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ $\Leftrightarrow$ $C = \frac{2}{3} A - \frac{5}{3} B$ $\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}} = \frac{(- B + 2 A)^{2}}{5 (A^{2} + B^{2})}$ $\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}} = \frac{(- B - A)^{2}}{2 (A^{2} + B^{2})}$

Imponemos $B = - 1$ (Para comprobar que obtenemos el mismo resultado ya que el vector director será del tipo $(1, m)$ ) y buscamos una solución que cumpla las tres ecuaciones: $C = \frac{2}{3} A - \frac{5}{3} (- 1)$ $\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}} = \frac{(1 + 2 A)^{2}}{5 (A^{2} + 1)}$ $\frac{\sqrt{10} + 1}{2 \sqrt{10}} = \frac{(1 - A)^{2}}{2 (A^{2} + 1)}$ Dividimos: $1 = \frac{2 (1 + 2 A)^{2}}{5 (1 - A)^{2}}$ $5 - 10 A + 5 A^{2} = 2 + 8 A + 8 A^{2}$ $3 A^{2} + 18 A - 3 = 0$ $A = \frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3}}{6} = - 3 \pm \frac{\sqrt{360}}{6}$

Si evaluamos las soluciones tenemos: $A_{1} = - 3 + \frac{\sqrt{360}}{6} ≃ 0, 16227766$ $A_{2} = - 3 - \frac{\sqrt{360}}{6} ≃ - 6, 16227766$

Obviamente nos quedamos con la solución positiva ya que al ser $- B = 1$ , tenemos $A = m = t g (\hat{b, O X})$ que pertenece al primer cuadrante. Así, $C = \frac{2}{3} (- 3 + \frac{\sqrt{360}}{6}) + \frac{5}{3}$ y sin arreglar, la ecuación de la recta queda: $(- 3 + \frac{\sqrt{360}}{6}) x - y + (\frac{2}{3} (- 3 + \frac{\sqrt{360}}{6}) + \frac{5}{3}) = 0$

Por último, otro procedimiento geométrico, muy elegante y que no precisa del uso de trigonometría, sería el emular la construcción geométrica de la bisectriz:

Cogemos vectores directores de las rectas $r$ y $s$ : $\vec{u} = (1, - 1), \vec{v} = (1, 2)$ Los hacemos unitarios, es decir, de módulo 1: $\vec{u} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}), \vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ Los aplicamos al punto de corte $P$ de las rectas $r$ y $s$ , obteniendo así puntos equidistantes al vértice del ángulo a bisectar sobre las rectas anteriores:

$a = P + \vec{u} = (- \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) + (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{- 2 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2}}, \frac{5 \sqrt{2} - 3}{3 \sqrt{2}})$ $b = P + \vec{v} = (- \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) + (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) = (\frac{- 2 \sqrt{5} + 3}{3 \sqrt{5}}, \frac{5 \sqrt{5} + 6}{3 \sqrt{5}})$

Si ahora encontramos el punto medio $M$ del segmento $a b$ , tendremos otro punto de la bisectriz $b$ (junto con $P$ ) y por tanto ya la podremos construir: $M = (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})$ $M = (\frac{- 2 \sqrt{2} + 3}{6 \sqrt{2}} + \frac{- 2 \sqrt{5} + 3}{6 \sqrt{2}}, \frac{5 \sqrt{2} - 3}{6 \sqrt{2}} + \frac{5 \sqrt{2} + 6}{6 \sqrt{5}}) =$ $= (\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10}}{6 \sqrt{10}}, \frac{6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10}}{6 \sqrt{10}})$ por tanto ya tenemos dos puntos de la recta $b$ , bisectriz de $r$ y $s$ , y la podemos construir con el punto $P$ y el vector $\vec{P M}$ : $\vec{P M} = (\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10}}{6 \sqrt{10}}, \frac{6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5} + 10 \sqrt{10}}{6 \sqrt{10}}) - (- \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) =$ $= (\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}}, \frac{6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}})$

Y así la recta $b$ es: $b : (x, y) = P + k \cdot \vec{P M} = (- \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) + k \cdot (\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}}, \frac{6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}})$

Solución:

Cualquiera de las siguientes soluciones es válida:

$b : (x, y) = (- 2 / 3, 5 / 3) + k \cdot (1, 0.16228)$

$(x, y) = (\frac{- 2}{3}, \frac{5}{3}) + k \cdot (\frac{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} - 3}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{10}} + 3})$

$(x, y) = P + k \cdot \vec{P M} = (- \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) + k \cdot (\frac{3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}}, \frac{6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{5}}{6 \sqrt{10}})$

$(- 3 + \frac{\sqrt{360}}{6}) x - y + (\frac{2}{3} (- 3 + \frac{\sqrt{360}}{6}) + \frac{5}{3}) = 0$

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