Dos rectas secantes $$r$$ y $$s$$ determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeño de los ángulos $$\alpha$$ y $$\beta$$ se define como el ángulo entre las rectas $$r$$ y $$s$$.
En el caso del dibujo el ángulo entre las rectas $$r$$ y $$s$$ sería $$\widehat{rx}=b$$.
Una forma de determinar dicho ángulo es a partir del producto escalar de los vectores directores de las rectas $$r$$ y $$s$$. Sean $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow{v}$$ vectores directores de las rectas $$r$$ y $$s$$ respectivamente.
El producto escalar de los vectores $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow {v}$$ es:$$$ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}$$$ Ahora, fijémonos que tomando un vector director de $$r$$ y uno de $$s$$, el ángulo formado por dichos vectores coincide con el ángulo entre las dos rectas, si es agudo, o bien con su suplementario si es obtuso:
Por tanto, el coseno del ángulo entre las dos rectas coincidirá, exceptuando el signo, con el del ángulo que forman sus vectores directores, y por tanto tenemos que: $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}|$$$Este último paso se debe a que $$$\cos (a) = - \cos (180 - a)$$$ Así, si aislamos en la formula del producto escalar, $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$$$
Nota: El producto escalar entre dos vectores $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$$ y $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$ se define cómo $$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \cdot v_1+u_2\cdot v_2$$$ Por tanto, si recordamos que la expresión del módulo de un vector es $$$\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$$Tenemos que en coordenadas la expresión del coseno del ángulo entre dos rectas es: $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$$
Determina el ángulo formado por las rectas $$r$$ y $$s$$, cuyas ecuaciones son, respectivamente, $$3x - 2y - 1 = 0$$ y $$-x + 2y - 3 = 0$$.
Sean $$\overrightarrow{u}= (2, 3)$$ y $$\overrightarrow{v} = (2, 1)$$ vectores directores de las rectas $$r$$ y $$s$$ respectivamente.
Entonces, aplicando la fórmula anterior tenemos $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=$$$ $$$=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+ 3\cdot 1|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{65}}$$$ Por tanto, si cogemos la calculadora tenemos que $$$\widehat{rs}=\arccos(\cos (\widehat{rs}))=\arccos \Big(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{65}}\Big)=29.7^\circ$$$