Coordenadas de un punto, componentes de un vector y punto medio de un segmento

Coordenadas de un punto en el plano

Veamos como se utilizan los vectores para asignar coordenadas a los puntos del plano.

Consideramos un punto fijo del plano $$O$$ (conocido como origen), y una base $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ de $$V_2$$ (Espacio vectorial de dimensión 2).

Recordemos que una base de $$V_2$$ son dos vectores linealmente independientes. El conjunto formado por $$O$$ y $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ constituye un sistema de referencia en el plano, ya que permite determinar la posición de cualquier otro punto del plano.

Esto se debe al hecho que cualquier otro punto $$P$$ del plano determina con el punto $$O$$ un vector $$\overrightarrow{OP}$$. Sean $$(p_1,p_2)$$ las componentes del vector en la base $$B$$. Entonces $$(p_1,p_2)$$ son las coordenadas del punto $$P$$ en el sistema de referencia $$R=\{O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ y escribimos $$P =(p_1,p_2)$$.

El procedimiento para encontrar las coordenadas de un punto $$P$$ en un sistema de referencia dado es el siguiente:

1. A partir de los puntos $$O$$ i $$P$$ determinamos el vector $$\overrightarrow{OP}$$

2. Expresamos el vector $$\overrightarrow{OP}$$ como combinación lineal de los vectores de la base $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$, es decir, $$\overrightarrow{OP}=p_1 \cdot \overrightarrow{u}+p_2 \cdot \overrightarrow{v}$$

3. $$P=(p_1,p_2)$$

De ahora en adelante consideraremos como sistema de referencia $$R$$ el formado por el origen de coordenadas $$O = (0, 0)$$ y la base canónica de $$V_2$$ $$B =\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$$.

Componentes de un vector determinado por dos puntos

Veamos ahora la forma de determinar las componentes de un vector si sabemos las coordenadas de sus extremos:

Sean $$P =(p_1,p_2)$$ y $$Q = (q_1,q_2)$$ dos puntos del plano, y sea $$\overrightarrow{PQ}$$ el vector que va de $$P$$ a $$Q$$. Entonces las componentes del vector $$\overrightarrow{PQ}$$ son $$\overrightarrow{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2)$$.

Aplicar un vector a un punto

Dados un punto $$P$$ y un vector $$\overrightarrow{v}$$, el resultado de aplicar el vector al punto es un nuevo punto $$Q$$ situado en la dirección de $$\overrightarrow{v}$$ y a una distancia $$|\overrightarrow{v}|$$. (módulo del vector $$\overrightarrow{v}$$)

Las coordenadas de este nuevo punto $$Q$$ se calculan a partir de las de $$P =(p_1,p_2)$$ y $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$ cómo: $$$Q = P +\overrightarrow{v}=(p_1+v_1,p_2+v_2)$$$

NOTA: Es muy importante tener presente que esta operación de "suma" sólo tiene sentido entre un punto y un vector. NUNCA debemos sumar dos puntos, y el resultado de sumar dos vectores es otro vector y no un punto!

Punto medio de un segmento

Consideremos ahora el segmento de extremos $$A = (a_1,a_2)$$ y $$B = (b_1,b_2)$$. Sea $$M =(m_1,m_2)$$ el punto medio de dicho segmento. Evidentemente dicho punto cumple que $$\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AM}$$, o sea que $$(b_1-a_1,b_2-a_2)=2\cdot (m_1-a_1,m_2-a_2)$$

Separando componente a componente obtenemos: $$$\begin{array}{rcl} b_1-a_1 & = & 2 \cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 &=& 2\cdot (m_2-a_2) \end{array}$$$ y aislando tenemos: $$$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2} \end{array}$$$ De forma que podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos.