Perpendicularidad de rectas

Dos rectas $r$ y $s$ son perpendiculares si y solo si el ángulo entre ellas es de $90^{\circ}$ . Esto equivale a que el coseno del ángulo sea igual a $0$ ( $\cos \hat{(r, s)} = 0$ ) y por tanto a que el producto escalar de sus vectores directores sea igual a $0$ .

Si tenemos las rectas $A x + B y + C = 0$ y $A^{'} x + B^{'} y + C^{'} = 0$ , vectores directores de dichas rectas son $\vec{u} = (- B, A)$ y $\vec{v} = (- B^{'}, A^{'})$ .

Por tanto, si en coordenadas imponemos que el producto escalar de los dos vectores sea $0$ tenemos: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} = 0 \Leftrightarrow - B \cdot (- B^{'}) + A \cdot A^{'} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow B \cdot B^{'} + A \cdot A^{'} = 0 \Leftrightarrow A \cdot A^{'} = - B \cdot B^{'} \Leftrightarrow \frac{A}{B} = - \frac{B^{'}}{A^{'}}$

Por tanto ya tenemos una manera de comprobar si dos vectores, y por tanto dos rectas, son perpendiculares a partir de sus componentes.

Si recordamos además que $m_{1} = \frac{- A}{B}$ y $m_{2} = \frac{- A^{'}}{B^{'}}$ son las pendientes de $r$ y $s$ , tenemos que la condición de perpendicularidad es equivalente a: $m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}$

Recordemos por último que si tenemos un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ , un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{v}$ es $\vec{w} = (- v_{2}, v_{1})$ .

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $r : y = 2 x - 5$ que pasa por el punto $A = (1, 2)$

La recta dada tiene pendiente $m = 2$ . Por tanto queremos una recta con pendiente $m^{'} = - \frac{1}{2}$ .

Así, utilizando la ecuación punto-pendiente tendremos que la recta buscada es: $y - 2 = - \frac{1}{2} (x - 1)$