Dos rectas $$r$$ y $$s$$ son perpendiculares si y solo si el ángulo entre ellas es de $$90^\circ$$. Esto equivale a que el coseno del ángulo sea igual a $$0$$ ($$\cos \widehat{(r,s)}=0$$) y por tanto a que el producto escalar de sus vectores directores sea igual a $$0$$.
Si tenemos las rectas $$Ax + By + C = 0$$ y $$A'x + B'y +C '= 0$$, vectores directores de dichas rectas son $$\overrightarrow{u}= (-B, A)$$ y $$\overrightarrow{v}= (-B', A ')$$.
Por tanto, si en coordenadas imponemos que el producto escalar de los dos vectores sea $$0$$ tenemos: $$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2=0 \Leftrightarrow -B \cdot (-B') + A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow$$$ $$$\Leftrightarrow B\cdot B '+ A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow A \cdot A '=-B · B' \Leftrightarrow \displaystyle \frac{A}{B}=-\frac{B'}{A'}$$$
Por tanto ya tenemos una manera de comprobar si dos vectores, y por tanto dos rectas, son perpendiculares a partir de sus componentes.
Si recordamos además que $$\displaystyle m_1=\frac{-A}{B}$$ y $$\displaystyle m_2=\frac{-A'}{B'}$$ son las pendientes de $$r$$ y $$s$$, tenemos que la condición de perpendicularidad es equivalente a: $$m_1=\displaystyle -\frac{1}{m_2}$$
Recordemos por último que si tenemos un vector $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$, un vector $$\overrightarrow{w}$$ perpendicular a $$\overrightarrow{v}$$ es $$\overrightarrow{w}=(-v_2,v_1)$$.
Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $$r: y = 2x - 5$$ que pasa por el punto $$A = (1, 2)$$
La recta dada tiene pendiente $$m = 2$$. Por tanto queremos una recta con pendiente $$\displaystyle m' =-\frac{1}{2}$$.
Así, utilizando la ecuación punto-pendiente tendremos que la recta buscada es: $$$y - 2 = \displaystyle -\frac{1}{2}(x - 1)$$$