Perpendicularitat entre rectes

Dues rectes $r$ i $s$ són perpendiculars si i només si l'angle entre elles és de $90^{\circ}$ . Això equival al fet que el cosinus de l'angle sigui igual a $0$ ( $\cos \hat{(r, s)} = 0$ ) i per tant a que el producte escalar dels seus vectors directors sigui igual a $0$ .

Si tenim les rectes $A x + B y + C = 0$ i $A^{'} x + B^{'} y + C^{'} = 0$ , els vectors directors d'aquestes rectes són $\vec{u} = (- B, A)$ i $\vec{v} = (- B^{'}, A^{'})$ .

Per tant, si en coordenades imposem que el producte escalar dels dos vectors sigui $0$ tenim: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} = 0 \Leftrightarrow - B \cdot (- B^{'}) + A \cdot A^{'} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow B \cdot B^{'} + A \cdot A^{'} = 0 \Leftrightarrow A \cdot A^{'} = - B \cdot B^{'} \Leftrightarrow \frac{A}{B} = - \frac{B^{'}}{A^{'}}$

Per tant ja tenim una manera de comprovar si dos vectors, i per tant dues rectes, són perpendiculars a partir dels seus components.

Si recordem a més que $m_{1} = \frac{- A}{B}$ i $m_{2} = \frac{- A^{'}}{B^{'}}$ són els pendents de $r$ i $s$ , tenim que la condició de perpendicularitat és equivalent a $m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}$

Recordem finalment que si tenim un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ , un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{v}$ és $\vec{w} = (- v_{2}, v_{1})$ .

Exemple

Troba l'equació de la recta perpendicular a $r : y = 2 x - 5$ que passa pel punt $A = (1, 2)$

La recta donada té pendent $m = 2$ . Per tant volem una recta amb pendent $m^{'} = - \frac{1}{2}$ .

Així, utilitzant l'equació punt-pendent tenim que la recta buscada és: $y - 2 = - \frac{1}{2} (x - 1)$