Dados $$3$$ vértices de un rombo $$ABCD$$, $$A = (1,-2)$$, $$B = (2,-3)$$, $$C = (7, 3)$$, encontrad las coordenadas del vértice $$D$$ y del centro $$E$$.
Desarrollo:
Si dibujamos los lados del rombo para ver mejor la figura tenemos:
Si ahora recordamos que un rombo es una figura con los 4 lados iguales y ángulos opuestos iguales tenemos que $$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}$$ y $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}$$.
Por tanto si aplicamos el vector $$\overrightarrow{CA}$$ al punto $$B$$ obtendremos el punto $$D$$, y análogamente podemos aplicar el vector $$\overrightarrow{CB}$$ al punto $$A$$ para obtener el punto $$D$$.
Empezamos calculando los vectores $$\overrightarrow{CA}$$ y $$\overrightarrow{CB}$$:
$$\overrightarrow{CA}=A-C=(1,-2)-(7,3)=(1-7,-2-3)=(-6,-5)$$
$$\overrightarrow{CB}=B-C=(2,-3)-(7,3)=(2-7,-3-3)=(-5,-6)$$
Si ahora aplicamos estos vectores a los puntos $$B$$ y $$A$$ respectivamente obtenemos:
$$D=\overrightarrow{CA}+B=(-6,-5)+(2,-3)=(-4,-8)$$
$$D=\overrightarrow{CB}+A=(-5,-6)+(1,-2)=(-4,-8)$$
Para encontrar las coordenadas del punto $$E$$, podemos hacerlo, por ejemplo, encontrando las coordenadas del punto medio de los segmentos $$CD$$ o $$AB$$.
$$$E=\dfrac{A+B}{2}=\Big(\dfrac{a_1+b_1}{2},\dfrac{a_2+b_2}{2} \Big)=\Big(\dfrac{1+2}{2},\dfrac{-2-3}{2}\Big)=\Big(\dfrac{3}{2},\dfrac{-5}{2}\Big)$$$
$$$E=\dfrac{C+D}{2}=\Big(\dfrac{c_1+d_1}{2},\dfrac{c_2+d_2}{2} \Big)=\Big(\dfrac{7-4}{2},\dfrac{3-8}{2}\Big)=\Big(\dfrac{3}{2},\dfrac{-5}{2}\Big)$$$
Solución:
$$D=(-4,8)$$
$$E=\Big(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{2}\Big)$$