Exercicis de Aplicacions del producte escalar

Donats els vectors $\vec{u} = (x, 2)$ i $\vec{v} = (3, 1)$ . Determinar el valor de $x$ per a què els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ siguin:

Paral·lels.
Perpendiculars.
Formin un angle de $45^{\circ}$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són paral·lels, les seves coordenades han de ser proporcionals, de manera que es compleixi: $\frac{x}{3} = \frac{2}{1} \Rightarrow x = 6$
Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars el seu producte escalar haurà de ser igual a zero: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 x + 2 = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}$
Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen un angle de $45^{\circ}$ , haurà de complir que: $\cos \hat{u v} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ I per la fórmula del producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos \hat{u v}$ , aïllant el cosinus obtenim: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos (\hat{u v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} = \frac{3 x + 2}{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{10}}$ multiplicant en creu el trencat inicial i final, dóna lloc a: $\sqrt{x^{2} + 4} \cdot \sqrt{20} = 6 x + 4$ elevant al quadrat cada costat de la igualtat: $\begin{array}{rcl} 20 (x^{2} + 4) & = & (6 x + 4)^{2} \\ 20 x^{2} + 80 & = & 36 x^{2} + 48 x + 16 \end{array}$ $16 x^{2} + 48 x - 64 = 0$ Equació de segon grau, que té com solucions: $x = - 4$ i $x = 1$ . Comprovem si les solucions són vàlides:

Primer valor: $\vec{u} = (- 4, 2)$ , $\vec{v} = (3, 1)$ $\cos (\hat{u v}) = \frac{- 12 + 2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \frac{- 10}{\sqrt{200}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$ No és vàlid.

Segon valor: $\vec{u} = (1, 2)$ , $\vec{v} = (3, 1)$ $\cos (\hat{u v}) = \frac{3 + 2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sí que és vàlid.

La presència de solucions no vàlides es deu al fet de l'equació irracional, que per a resoldre-la hem hagut de elevar al quadrat els dos membres de la igualtat. Sempre que fem aquesta operació hem de comprovar al final si les solucions trobades són vàlides o no.

Solució:

$x = 6$
$x = - \frac{2}{3}$
$x = 1$

Amagar desenvolupament i solució

Calcula un vector $\vec{v}$ que sigui ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u} = (2, - 4)$ i tingui mòdul igual a $3$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Volem trobar un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ tal que el seu mòdul sigui $3$ , és a dir, $| \vec{v} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 3 \Rightarrow | \vec{v} | = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 9$

i que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (imposem perpendicularitat): $u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0 \Rightarrow 2 v_{1} + (- 4) v_{2} = 0 \Rightarrow v_{1} = 2 v_{2}$

Substituint $v_{1} = 2 v_{2}$ a la primera igualtat, obtenim: $4 v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 5 v_{2}^{2} = 9 \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{9}{5} \Rightarrow v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}, v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

Solució:

$v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ i $v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

Amagar desenvolupament i solució

Determina el producte escalar de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ :

$\vec{u} = (1, - 2)$ , $\vec{v} = (3, 2)$
$| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 4$ , $ang (\vec{u}, \vec{v}) = 60^{\circ}$
Determina l'angle que formen els vectors $\vec{u} = (- 1, 2)$ i $\vec{v} = (3, 0)$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 1 \cdot 3 + (- 2) \cdot 2 = - 1$
Utilitzem la fórmula del producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v})$ , de manera que obtenim: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos (60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
Utilitzem la fórmula del producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v})$ , per poder-la aplicar necessitem calcular el mòdul dels vectors, així doncs: $| \vec{u} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} | \vec{v} | = \sqrt{3^{2}} = 3$ Llavors obtenim: $ang (\vec{u}, \vec{v}) = \arccos (\frac{- 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{\sqrt{5} \cdot 3}) = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{5}})$ $= \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5}}) = 116^{\circ} 33^{'} 54^{″}$

Solució:

$- 1$
$6$
$ang (\vec{u}, \vec{v}) = 116^{\circ} 33^{'} 54^{″}$

Amagar desenvolupament i solució

Veure teoria