Ejercicios de Aplicaciones del producto escalar

Determina el producto escalar de u y v:

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Desarrollo:

  • Usamos la expresión analítica del producto escalar: uv=u1v1+u2v2=13+(2)2=1
  • Usamos la fórmula del producto escalar uv=|u||v|cos(uv^), de manera que obtenemos: uv=34cos(60)=1212=6
  • Usaremos la fórmula del producto escalar uv=|u||v|cos(uv^), para poderla aplicar necesitamos calcular el módulo de los vectores, así pues: |u|=(1)2+22=5|v|=32=3 Entonces obtenemos: ang(u,v)=arccos(13+2253)=arccos(335) =arccos(15)=1163354

Solución:

  • 1
  • 6
  • ang(u,v)=1163354
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Dados los vectores u=(x,2) y v=(3,1). Determinar el valor de x ara que los vectores u y v sean:

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Desarrollo:

  • Si u y v son paralelos sus coordenadas han de ser proporcionales, de manera que se cumpla: x3=21x=6
  • Si u y v son perpendiculares su producto escalar tendrá que ser igual a cero: uv=3x+2=0x=23
  • Si u y v forman un ángulo de 45, tendrá que cumplirse que: cosuv^=22 Y por la fórmula del producto escalar uv=|u||v|cosuv^, despejando el coseno obtenemos: 22=cos(uv^)=uv|u||v|=3x+2x2+410 multiplicando en cruz el quebrado inicial y final, da lugar a: x2+420=6x+4 elevando al cuadrado cada lado de la igualdad: 20(x2+4)=(6x+4)220x2+80=36x2+48x+16 16x2+48x64=0 Ecuación de segundo grado, que tiene como soluciones: x=4 y x=1. Comprobamos si las soluciones son válidas:

    Primer valor: u=(4,2), v=(3,1) cos(uv^)=12+22010=10200=12 No es válido.

    Segundo valor: u=(1,2), v=(3,1) cos(uv^)=3+2510=550=552=12=22 Sí es válido.

    La presencia de soluciones no válidas se debe al hecho de la ecuación irracional, que para resolverla hemos tenido que elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad. Siempre que hagamos esta operación debemos comprobar al final si las soluciones halladas son válidas o no.

Solución:

  • x=6
  • x=23
  • x=1
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Calcula un vector v que sea ortogonal (perpendicular) al vector u=(2,4) y tenga módulo igual a 3.

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Desarrollo:

Queremos hallar un vector v=(v1,v2) tal que su módulo sea 3, es decir, |v|=v12+v22=3|v|=v12+v22=9

y que uv=0 (imponemos perpendicularidad): u1v1+u2v2=02v1+(4)v2=0v1=2v2

Sustituyendo v1=2v2 en la primera igualdad, obtenemos: 4v22+v22=5v22=9v22=95v2=35, v1=65

Solución:

v2=35 y v1=65

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