Aplicacions del producte escalar

Mòdul d'un vector.

El producte escalar es pot usar per a determinar el mòdul d'un vector $$\vec{u}$$. Ja que: $$$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})=|\vec{u}|^2$$$

d'on: $$\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$$

De manera que obtenim, usant les coordenades del vector $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$, $$$ \vec{u}=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$$

Angle entre els vectors.

De la definició del producte escalar $$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})$$ podem aïllar el cosinus de l'angle que formen els dos vectors: $$$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$$

Aplicant la funció arcsinus a cada costat de la igualtat obtenim (ang = angle): $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big)$$$

De manera que si tenim dos vectors mitjançant les seves coordenades $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ i $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tenim que:

$$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\text{ang}(\vec{v},\vec{u})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big)$$$