El producte de dos vectors no nuls és igual al mòdul d'un d'ells per la projecció de l'altre sobre ell.
En el dibuix, $$OA'$$ és la projecció del vector $$\vec{u}$$ sobre $$\vec{v}$$. Si ens fixem en el triangle $$OAA'$$ i apliquem la fórmula del cosinus, obtenim:
$$$\cos(\alpha)=\dfrac{OA'}{|\vec{u}|} \Rightarrow |OA'| = |\vec{u}|\cdot \cos(\alpha) $$$
Finalment, aplicant a la fórmula del producte escalar el que hem trobat obtenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha)=|\vec{u}|\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})$$$
Trobar la projecció del vector $$\vec{u}=(2,3)$$ sobre el $$\vec{v}=(-1,4)$$. $$$ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot (-1)+3\cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+4^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{17}}$$$