Calcula un vector $$\vec{v}$$ que sigui ortogonal (perpendicular) al vector $$\vec{u}=(2,-4)$$ i tingui mòdul igual a $$3$$. Trobeu també la projecció ortogonal de $$\vec{u}$$ sobre $$\vec{v}$$.
Desenvolupament:
Volem trobar un vector $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tal que el seu mòdul sigui $$3$$, és a dir, $$$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$$
i que $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$ (imposem perpendicularitat): $$$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$$
Substituint $$v_1=2v_2$$ a la primera igualtat, obtenim: $$$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$$
Per obtenir la projecció ortogonal desitjada fem servir la fórmula: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})$$. En el nostre cas tenim que:
$$$ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot\dfrac{6}{\sqrt{5}}+(-4)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}}{3}= \dfrac{\dfrac{12}{\sqrt{5}}-\dfrac{12}{\sqrt{5}}}{3}=0$$$
També podríem haver pensat que ja que els vectors en qüestió són perpendiculars, està clar que la seva projecció serà zero.
Solució:
$$v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$$ i $$v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \quad$$ $$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=0$$