Exercicis de Interpretació geomètrica del producte escalar

Calcula un vector $\vec{v}$ que sigui ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u} = (2, - 4)$ i tingui mòdul igual a $3$ . Trobeu també la projecció ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Volem trobar un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ tal que el seu mòdul sigui $3$ , és a dir, $| \vec{v} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 3 \Rightarrow | \vec{v} | = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 9$

i que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (imposem perpendicularitat): $u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0 \Rightarrow 2 v_{1} + (- 4) v_{2} = 0 \Rightarrow v_{1} = 2 v_{2}$

Substituint $v_{1} = 2 v_{2}$ a la primera igualtat, obtenim: $4 v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 5 v_{2}^{2} = 9 \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{9}{5} \Rightarrow v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}, v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

Per obtenir la projecció ortogonal desitjada fem servir la fórmula: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{v} | {proj}_{\vec{v}} (\vec{u})$ . En el nostre cas tenim que:

${proj}_{\vec{v}} (\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{v} |} = \frac{2 \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} + (- 4) \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}}{3} = \frac{\frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{12}{\sqrt{5}}}{3} = 0$

També podríem haver pensat que ja que els vectors en qüestió són perpendiculars, està clar que la seva projecció serà zero.

Solució:

$v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ i $v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ ${proj}_{\vec{v}} (\vec{u}) = 0$

Amagar desenvolupament i solució