Calcula un vector $$\vec{v}$$ que sea ortogonal (perpendicular) al vector $$\vec{u}=(2,-4)$$ y tenga módulo igual a $$3$$. Hallar la proyección ortogonal de $$\vec{u}$$ sobre $$\vec{v}$$.
Desarrollo:
Queremos hallar un vector $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tal que su módulo sea $$3$$, es decir, $$$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$$
y que $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$ (imponemos perpendicularidad): $$$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$$
Sustituyendo $$v_1=2v_2$$ en la primera igualdad, obtenemos: $$$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$$
Para obtener la proyección ortogonal deseada usamos la fórmula: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})$$. En nuestro caso tenemos que:
$$$ \text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot\dfrac{6}{\sqrt{5}}+(-4)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}}{3}= \dfrac{\dfrac{12}{\sqrt{5}}-\dfrac{12}{\sqrt{5}}}{3}=0$$$
También podríamos haber pensado que puesto que los vectores en cuestión son perpendiculares, está claro que su proyección será cero.
Solución:
$$v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$$ y $$v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \quad$$ $$\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=0$$