Ejercicios de Interpretación geométrica del producto escalar

Calcula un vector $\vec{v}$ que sea ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u} = (2, - 4)$ y tenga módulo igual a $3$ . Hallar la proyección ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ .

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Desarrollo:

Queremos hallar un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ tal que su módulo sea $3$ , es decir, $| \vec{v} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 3 \Rightarrow | \vec{v} | = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 9$

y que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (imponemos perpendicularidad): $u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0 \Rightarrow 2 v_{1} + (- 4) v_{2} = 0 \Rightarrow v_{1} = 2 v_{2}$

Sustituyendo $v_{1} = 2 v_{2}$ en la primera igualdad, obtenemos: $4 v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 5 v_{2}^{2} = 9 \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{9}{5} \Rightarrow v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}, v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

Para obtener la proyección ortogonal deseada usamos la fórmula: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{v} | {proy}_{\vec{v}} (\vec{u})$ . En nuestro caso tenemos que:

${proy}_{\vec{v}} (\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{v} |} = \frac{2 \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} + (- 4) \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}}{3} = \frac{\frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{12}{\sqrt{5}}}{3} = 0$

También podríamos haber pensado que puesto que los vectores en cuestión son perpendiculares, está claro que su proyección será cero.

Solución:

$v_{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ y $v_{1} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ ${proy}_{\vec{v}} (\vec{u}) = 0$

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