Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

imagen

En el dibujo, $O A^{'}$ es la proyección del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ . Si nos fijamos en el triángulo $O A A^{'}$ y aplicamos la fórmula del coseno, obtenemos:

$\cos (α) = \frac{O A^{'}}{| \vec{u} |} \Rightarrow | O A^{'} | = | \vec{u} | \cdot \cos (α)$

Finalmente, aplicando a la fórmula del producto escalar lo que hemos encontrado obtenemos: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (α) = | \vec{u} | {proy}_{\vec{v}} (\vec{u})$

Ejemplo

Encontrar la proyección del vector $\vec{u} = (2, 3)$ sobre el $\vec{v} = (- 1, 4)$ . ${proy}_{\vec{v}} (\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{v} |} = \frac{2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 4}{\sqrt{(- 1)^{2} + 4^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{17}}$