Exercicis de Asímptotes d'una funció

Desenvolupament:

Notarem: AH = Asímptota horitzontal, AV = Asímptota vertical i AO = Asímptota obliqua.

a) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x-1=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x-1=-1}$

per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $y=-1$.

AV: No presenta asímptotes verticals perquè no tenim problemes per divisions entre zero.

AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim divisió de polinomis.

b) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^{-x^2}}{x^2+1}}=0}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^{-x^2}}{x^2+1}}=0}$

per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $y=0$.

AV: No presenta ni asímptotes verticals perquè el denominador no s'anul·la mai.

AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim una divisió de polinomis.

c) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x+1}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x+1}}=-\mathrm{\infty }}$

pel que no tenim asímptota horitzontal.

AV: Tindrem asímptotes verticals on el denominador s'anul·li: $x+1=0\Rightarrow x=-1$

AO:Tindrem asímptotes obliqües si els següents límits són finits:

${\displaystyle m=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}b=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-mx)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x}{x+1}-x)\\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x}{x+1}-\frac{x(x+1)}{x+1})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1})\\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{-3x}{x+1})=-3\end{array}}$

Pel que tenim una asímptota obliqua: $y=x-3$.

Solució:

a) Té asímptota horitzontal $y=-1$. No té asímptotes verticals ni obliqües.

b) Té asímptota horitzontal $y=0$. No té asímptotes verticals ni obliqües.

c) Té asímptota vertical en $x=-1$ i asímptota obliqua en $y=x-3$. No té asímptotes horitzontals.

Amagar desenvolupament i solució