Troba les diferents asímptotes que presenten les següents funcions:
a) $$f(x)=e^x-1$$
b) $$f(x)=\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}$$
c) $$f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$$
Desenvolupament:
Notarem: AH = Asímptota horitzontal, AV = Asímptota vertical i AO = Asímptota obliqua.
a) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}e^x-1=+\infty$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x-1=-1$$
per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $$y = -1$$.
AV: No presenta asímptotes verticals perquè no tenim problemes per divisions entre zero.
AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim divisió de polinomis.
b) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$$
per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $$y = 0$$.
AV: No presenta ni asímptotes verticals perquè el denominador no s'anul·la mai.
AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim una divisió de polinomis.
c) AH:
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=+\infty$$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=-\infty$$
pel que no tenim asímptota horitzontal.
AV: Tindrem asímptotes verticals on el denominador s'anul·li: $$x+1=0\Rightarrow x=-1$$
AO:Tindrem asímptotes obliqües si els següents límits són finits:
$$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1$$
$$\displaystyle \begin{array}{rl} b=&\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)= \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -x\Big) \\ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -\frac{x(x+1)}{x+1}\Big) = \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} \Big) \\ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{-3x}{x+1} \Big) =-3 \end{array}$$
Pel que tenim una asímptota obliqua: $$y=x-3$$.
Solució:
a) Té asímptota horitzontal $$y=-1$$. No té asímptotes verticals ni obliqües.
b) Té asímptota horitzontal $$y=0$$. No té asímptotes verticals ni obliqües.
c) Té asímptota vertical en $$x=-1$$ i asímptota obliqua en $$y=x-3$$. No té asímptotes horitzontals.