Ejercicios de Asíntotas de una función

Desarrollo:

Notaremos: AH = Asíntota Horizontal, AV = Asíntota Vertical y AO = Asíntota Oblícua.

a) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x-1=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x-1=-1}$

por lo que tenemos una asíntota horizontal en $y=-1$.

AV: No presenta asíntotas verticales por queno tenemos problemas por divisiones por cero.

AO: No presenta asíntotas oblicuas por que no tenemos división de polinomios.

b) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^{-x^2}}{x^2+1}}=0}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^{-x^2}}{x^2+1}}=0}$

por lo que tenemos una asíntota horizontal en $y=0$.

AV: No presenta ni asíntotas verticales por que el denominador no se anula nunca.

AO: No presenta asíntotas oblícuas porque no tenemos una división de polinomios.

c) AH:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x+1}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x+1}}=-\mathrm{\infty }}$

por lo que no tenemos asíntota horizontal.

AV: Tendremos asíntotas verticales donde el denominador se anule: $x+1=0\Rightarrow x=-1$

AO: Tendremos asíntotas oblícuas si los siguientes límites son finitos:

${\displaystyle m=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}b=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-mx)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x}{x+1}-x)\\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x}{x+1}-\frac{x(x+1)}{x+1})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1})\\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{-3x}{x+1})=-3\end{array}}$

Por lo que tenemos una asíntota oblícua: $y=x-3$.

Solución:

a) Tiene asíntota horizontal $y=-1$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.

b) Tiene asíntota horizontal $y=0$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.

c) Tiene asíntota vertical en $x=-1$ y asíntota oblícua en $y=x-3$. No tiene asíntotas horizontales.

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