Binomi de Newton i triangle de Pascal

Binomi de Newton

El binomi de Newton és un algoritme que permet calcular una potència qualsevol d'un binomi. Per fer-ho, s'usen els coeficients binomials, que no són més que una successió de nombres combinatoris. La fórmula general del binomi de Newton és:

$$(a+b{)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\dots +$$

$$\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a{b}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)b^n$$

Els nombres combinatoris que apareixen a la fórmula són precisament els anomenats coeficients binomials.

(En el cas que en el binomi figuri un signe menys, els signes del desenvolupament han d'anar-se alternant de la forma $+-+-+-\dots$)

Triangle de Pascal

Pascal va idear una manera senzilla de calcular nombres combinatoris (encara que en alguns textos aquesta idea s'atribueix a Tartaglia):

$$\begin{array}{ccccccccccc}& & & & & 1& & & & & \\ & & & & 1& & 1& & & & \\ & & & 1& & 2& & 1& & & \\ & & 1& & 3& & 3& & 1& & \\ & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& \\ 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1\end{array}$$

El mètode rep el nom de triangle de Pascal i es construeix de la següent manera (per files i de dalt a baix):

• En el vèrtex es col·loca un $1$.
• Cada fila comença i acaba en $1$.
• Els altres números de la fila són sempre la suma dels dos que té just a sobre.

El terme general del desenvolupament de $(a+b{)}^n$ ve donat per la fórmula:

$$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}{b}^k$$

Aquesta fórmula permet calcular el valor d'un terme qualsevol sense necessitat d'efectuar tot el desenvolupament.