El factorial d'un nombre

Considerem un nombre enter positiu qualsevol, per exemple el $5$, i fem la següent multiplicació:

$$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$$

És a dir, el producte de tots els enters positius que són menors que $5$.

A aquest resultat se l'anomena factorial de cinc i s'indica posant un signe d'admiració al costat del número cinc: $5!$ i es llegeix dient "cinc factorial".

$$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$$

Totes les calculadores científiques tenen una tecla que permet fer aquest càlcul. Sol estar indicada amb una ics seguida el signe d'admiració $x!$. De manera que el que cal fer per calcular el factorial d'un nombre és escriure aquest número a la calculadora i després prémer la tecla $x!$.

Quan es tracta de números grans l'expressió factorial és llarga i es pot escurçar mitjançant punts suspensius.

Estem ara en condicions de donar la definició general del factorial d'un nombre. El factorial d'un nombre enter positiu $n$ es defineix com: $$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$$

Lògicament $1!=1$. El que ja no sembla tan lògic és que $0!=1$, però s'adopta per conveni. De manera que per al càlcul de factorials és important recordar que $1!=1$ i $0!=1$.

És fàcil observar, utilitzant una calculadora, que el factorial d'un nombre creix de forma gairebé exponencial, és a dir que creix molt de pressa.

$10!=3628800$

$15!=1307674368000$

$20!=2432902008176640000$

Pel que pot ser difícil evitar càlculs molestos quan s'estan fent operacions amb factorials.

Una propietat dels factorials, que pot ser útil per simplificar fraccions, és: $$n!=n\cdot (n-1)!$$