El factorial d'un nombre

Considerem un nombre enter positiu qualsevol, per exemple el $$5$$, i fem la següent multiplicació:

$$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

És a dir, el producte de tots els enters positius que són menors que $$5$$.

A aquest resultat se l'anomena factorial de cinc i s'indica posant un signe d'admiració al costat del número cinc: $$5!$$ i es llegeix dient "cinc factorial".

$$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

Totes les calculadores científiques tenen una tecla que permet fer aquest càlcul. Sol estar indicada amb una ics seguida el signe d'admiració $$x!$$. De manera que el que cal fer per calcular el factorial d'un nombre és escriure aquest número a la calculadora i després prémer la tecla $$x!$$.

Quan es tracta de números grans l'expressió factorial és llarga i es pot escurçar mitjançant punts suspensius.

Estem ara en condicions de donar la definició general del factorial d'un nombre. El factorial d'un nombre enter positiu $$n$$ es defineix com: $$$ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$$

Lògicament $$1! = 1$$. El que ja no sembla tan lògic és que $$0! = 1$$, però s'adopta per conveni. De manera que per al càlcul de factorials és important recordar que $$1! = 1$$ i $$0! = 1$$.

És fàcil observar, utilitzant una calculadora, que el factorial d'un nombre creix de forma gairebé exponencial, és a dir que creix molt de pressa.

$$10! = 3628800$$

$$15! = 1307674368000$$

$$20! = 2432902008176640000$$

Pel que pot ser difícil evitar càlculs molestos quan s'estan fent operacions amb factorials.

Una propietat dels factorials, que pot ser útil per simplificar fraccions, és: $$$n! = n \cdot (n-1)!$$$