El factorial de un número

Tomemos un número entero positivo cualquiera, por ejemplo el $$5$$, y hagamos la siguiente multiplicación:

$$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

Es decir, el producto de todos los enteros positivos que son menores que $$5$$.

A este resultado se le llama factorial de cinco y se indica poniendo un signo de admiración al lado del número cinco: $$5!$$ y se lee diciendo "cinco factorial".

$$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$$

Todas las calculadoras científicas tienen una tecla que permite hacer este cálculo. Suele estar indicada con una equis seguida el signo de admiración $$x!$$. de manera que lo que hay que hacer para calcular el factorial de un número es escribir dicho número en la calculadora y luego pulsar la tecla $$x!$$.

Cuando se trata de números grandes la expresión factorial es larga y se puede abreviar mediante puntos suspensivos.

Estamos ahora en condiciones de dar la definición general del factorial de un número. El factorial de un número entero positivo $$n$$ se define como: $$$ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$$

Lógicamente $$1! = 1$$. Lo que ya no parece tan lógico es que $$0! = 1$$, pero se adopta como convenio. De manera que para el cálculo de factoriales es importante recordar que $$1! = 1$$ y $$0! = 1$$.

Es fácil observar, utilizando una calculadora, que el factorial de un número crece de forma casi exponencial, es decir que crece muy deprisa.

$$10! = 3628800$$

$$15! = 1307674368000$$

$$20! = 2432902008176640000$$

Por lo que puede ser difícil el evitar cálculos engorrosos cuando se están haciendo operaciones con factoriales.

Una propiedad de los factoriales, que se puede utilizar para simplificar fracciones, es: $$$n! = n \cdot (n-1)!$$$