Càlcul de volums a partir del teorema de Gauss

De la mateixa manera que es fa amb el teorema de Green, utilitzarem una potent eina del càlcul integral per calcular volums, el teorema de la divergència o teorema de Gauss.

Aquest teorema ens diu que si tenim un sòlid $D$ limitat per una superfície tancada $S$ i $\vec{F} (x, y, z)$ un camp vectorial, llavors:

$\int_{S} \vec{F} d \vec{S} = ∭_{V} div (\vec{F}) d x d y d z$

on, si $\vec{F} (x, y, z) = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))$ , aleshores $div (\vec{F}) = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ és la divergència del camp.

Recordem que per calcular el primer terme, si $r (u, v)$ és una parametrització de la superfície,

$\int_{S} \vec{F} d \vec{S} = \iint \vec{F} (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v$

on $r_{u} \times r_{v}$ denota el producte vectorial de les derivades de la parametrització segons $u$ i $v$ .

Per tant, si trobem un camp que tingui divergència idènticament igual a $1$ , en el membre de la dreta tindrem el volum del sòlid i per tant tenim un mètode per calcular volums.

De camps que compleixin el que necessitem n'hi ha molts, però els més típics són:

$\vec{F} (x, y, z) = (x, 0, 0)$
$\vec{F} (x, y, z) = (0, y, 0)$
$\vec{F} (x, y, z) = (0, 0, z)$
$\vec{F} (x, y, z) = \frac{1}{3} (x, y, z)$

Exemple

Per exemple, anem a calcular el volum delimitat per mitja esfera i el pla equatorial, és a dir:

imagen

Pel teorema de Gauss tenim que podem integrar un dels camps donats al llarg de la superfície que tanca el volum.

Parametritzem primer el casquet amb coordenades esfèriques:

$\begin{array}{l} x = \sin θ \cos φ \\ y = \sin θ \sin φ \\ z = \cos θ \end{array} \begin{array}{l} θ \in [0, \frac{π}{2}] \\ φ \in [0, 2 π] \end{array}$

Calculem els vectors derivades i el seu producte vectorial:

$\begin{array}{l} r_{θ} = (\cos θ \cos φ, \sin φ \cos θ, - \sin φ) \\ r_{φ} = (- \sin θ \sin φ, \sin θ \cos φ, 0) \end{array}} \Rightarrow$

$\begin{aligned} \Rightarrow r_{θ} \times r_{φ} = & | \begin{array}{c} i & j & k \\ \cos θ \cos φ & \sin φ \cos θ & - \sin φ \\ - \sin θ \sin φ & \sin θ \cos φ & 0 \end{array} | \\ = & (\sin^{2} θ \cos φ, \sin^{2} θ \sin φ, \sin θ \cos θ) \end{aligned}$

Prenent el camp vectorial $F (x, y, z) = (0, 0, z)$ , tenim:

$\begin{aligned} \int_{S} (0, 0, z) d \vec{S} = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 π} (0, 0, \cos θ) \cdot (\sin^{2} θ \cos φ, \sin^{2} θ \sin φ, \sin θ \cos θ) d φ d θ \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} θ \cdot \sin θ d φ d θ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} θ \cdot \sin θ (\int_{0}^{2 π} d φ) d θ \\ = & 2 π \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} θ \cdot \sin θ d θ = 2 π [\frac{- \cos^{3} θ}{3}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{2}{3} π \end{aligned}$

Ara hem d'integrar el mateix camp sobre la tapa inferior ja que el teorema és vàlid per superfícies tancades. Una parametrització del cercle és:

$\begin{array}{l} x = r \cos (t) \\ y = r \sin (t) \\ z = 0 \end{array} \begin{array}{l} t \in [0, 2 π] \\ r \in [0, 1] \end{array}$

Calculem també els vectors derivades i el seu producte vectorial:

$\begin{array}{l} r_{r} = (- r \sin (t), r \cos (t), 0) \\ r_{t} = (\cos (t), \sin (t), 0) \end{array}} \Rightarrow$

$\Rightarrow r_{t} \times r_{r} = | \begin{matrix} i & j & k \\ - r \sin (t) & r \cos (t) & 0 \\ \cos (t) & \sin (t) & 0 \end{matrix} | = (0, 0, - r^{2})$

Ara, tenim:

$\int_{C} (0, 0, z) d \vec{S} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (0, 0, 0) \cdot (0, 0, - r^{2}) d r d t = 0$

Per tant,

$\begin{aligned} Vol (E) = & ∭_{S} 1 d x d y d z = ∭_{E} div (0, 0, z) d x d y d z \\ = & \int_{S} (0, 0, z) d \vec{S} + \int_{C} (0, 0, z) d \vec{S} = \frac{2}{3} π + 0 = \frac{2}{3} π \end{aligned}$