De la mateixa manera que es fa amb el teorema de Green, utilitzarem una potent eina del càlcul integral per calcular volums, el teorema de la divergència o teorema de Gauss.
Aquest teorema ens diu que si tenim un sòlid $$D$$ limitat per una superfície tancada $$S$$ i $$\vec{F}(x,y,z)$$ un camp vectorial, llavors:
$$$\int_S \vec{F} \ d\vec{S} = \iiint_V \text{div}(\vec{F}) \ dx \ dy \ dz $$$
on, si $$\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$, aleshores $$\text{div}(\vec{F})=P_x+Q_y+R_z$$ és la divergència del camp.
Recordem que per calcular el primer terme, si $$r(u, v)$$ és una parametrització de la superfície,
$$$\int_S \vec{F} \ d\vec{S}=\iint \vec{F}\big( r(u,v) \big) \cdot (r_u\times r_v) \ du \ dv$$$
on $$r_u\times r_v$$ denota el producte vectorial de les derivades de la parametrització segons $$u$$ i $$v$$.
Per tant, si trobem un camp que tingui divergència idènticament igual a $$1$$, en el membre de la dreta tindrem el volum del sòlid i per tant tenim un mètode per calcular volums.
De camps que compleixin el que necessitem n'hi ha molts, però els més típics són:
- $$\vec{F}(x,y,z)=(x,0,0)$$
- $$\vec{F}(x,y,z)=(0,y,0)$$
- $$\vec{F}(x,y,z)=(0,0,z)$$
- $$\vec{F}(x,y,z)=\dfrac{1}{3}(x,y,z)$$
Per exemple, anem a calcular el volum delimitat per mitja esfera i el pla equatorial, és a dir:
Pel teorema de Gauss tenim que podem integrar un dels camps donats al llarg de la superfície que tanca el volum.
Parametritzem primer el casquet amb coordenades esfèriques:
$$$ \begin{array}{l} x=\sin\theta\cos\varphi \\ y=\sin\theta\sin\varphi \\ z=\cos\theta \end{array} \qquad \begin{array}{l} \theta\in \big[0,\dfrac{\pi}{2}\big] \\ \varphi\in[0,2\pi] \end{array}$$$
Calculem els vectors derivades i el seu producte vectorial:
$$$ \left. \begin{array}{l} r_\theta = (\cos\theta\cos\varphi,\sin\varphi\cos\theta,-\sin\varphi) \\ r_\varphi=(-\sin\theta\sin\varphi,\sin\theta\cos\varphi,0) \end{array} \right\} \Rightarrow$$$
$$$\begin{array}{rl} \Rightarrow \ r_\theta \times r_\varphi =& \begin{vmatrix} i & j & k \\ \cos\theta\cos\varphi & \sin\varphi\cos\theta & -\sin\varphi\\ -\sin\theta\sin\varphi & \sin\theta\cos\varphi & 0 \end{vmatrix} \\ =& \big( \sin^2\theta\cos\varphi, \sin^2\theta\sin\varphi, \sin\theta\cos\theta\big) \end{array}$$$
Prenent el camp vectorial $$F(x,y,z)=(0,0,z)$$, tenim:
$$$ \begin{array}{rl} \int_S (0,0,z) \ d\vec{S} =& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} (0,0,\cos\theta)\cdot \big( \sin^2\theta\cos\varphi, \sin^2\theta\sin\varphi, \sin\theta\cos\theta\big) \ d\varphi \ d\theta \\ =& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \cdot \sin\theta \ d\varphi \ d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \cdot \sin\theta \Big( \int_0^{2\pi} d\varphi \Big) \ d\theta \\ =& 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \cdot \sin\theta \ d\theta = 2\pi \Big[ \dfrac{-\cos^3\theta}{3} \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}= \dfrac{2}{3}\pi \end{array}$$$
Ara hem d'integrar el mateix camp sobre la tapa inferior ja que el teorema és vàlid per superfícies tancades. Una parametrització del cercle és:
$$$ \begin{array}{l} x=r\cos(t) \\ y=r\sin(t) \\ z=0 \end{array} \qquad \begin{array}{l} t\in[0,2\pi] \\ r\in[0,1] \end{array}$$$
Calculem també els vectors derivades i el seu producte vectorial:
$$$ \left. \begin{array}{l} r_r = (-r\sin(t),r\cos(t),0) \\ r_t=(\cos(t),\sin(t),0) \end{array} \right\} \Rightarrow$$$
$$$\Rightarrow \ r_t \times r_r = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -r\sin(t) & r\cos(t) & 0 \\ \cos(t) & \sin(t) & 0 \end{vmatrix} = ( 0, 0, -r^2)$$$
Ara, tenim:
$$$ \int_C (0,0,z) \ d\vec{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (0,0,0)\cdot (0,0,-r^2) \ dr \ dt =0 $$$
Per tant,
$$$ \begin{array}{rl} \text{Vol}(E)=&\iiint_S 1 \ dx\ dy\ dz= \iiint_E \text{div}(0,0,z) \ dx\ dy\ dz \\ =& \int_S (0,0,z) \ d\vec{S}+ \int_C (0,0,z)\ d\vec{S} = \dfrac{2}{3}\pi +0= \dfrac{2}{3}\pi \end{array}$$$