Exercicis de Càlcul de volums per integració directa

Calculeu el volum de la regió limitada pel cilindre d'equació  x2+y2=1  i els plans  z=0  i  z=2x.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Per la simetria del problema, considerarem coordenades cilíndriques.

El cilindre queda determinat per r2=1 i els plans queden z=0 i z=2cosφ. Per tant, els límits d'integració seran:

r(0,1)φ(0,2π)z(0,2rcosφ)

Així, si V és la regió considerada:

Vol(V)=V1 dx dy dz=02π0102rcosφr dz dr dθ=02π01[rz]02rcosφ dr dθ=02π01(2rcosφ)r dr dθ=02π01(2rr2cosφ) dr dφ=02π[r2r33cosφ]01 dr dφ=02π113cosφ dφ=[φ13sinφ]02π=2π

Solució:

Vol(V)=2π

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria