Calculeu el volum de la regió limitada pel cilindre d'equació $$\ x^2+y^2=1 \ $$ i els plans $$\ z=0 \ $$ i $$ \ z=2-x$$.
Desenvolupament:
Per la simetria del problema, considerarem coordenades cilíndriques.
El cilindre queda determinat per $$r^2=1$$ i els plans queden $$z=0$$ i $$z=2-\cos\varphi$$. Per tant, els límits d'integració seran:
$$\begin{array}{l} r\in(0,1) \\ \varphi\in(0,2\pi) \\ z\in(0,2-r\cdot\cos\varphi) \end{array} $$
Així, si $$V$$ és la regió considerada:
$$$\begin{array}{rl} \text{Vol}(V)=&\iiint_V 1 \ dx \ dy \ dz =\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{2-r\cos\varphi} r \ dz \ dr \ d\theta \\ =&\int_0^{2\pi} \int_0^1 \big[ r\cdot z \big]_0^{2-r\cos\varphi} \ dr \ d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2-r\cos\varphi)r \ dr \ d\theta \\ =& \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r-r^2\cos\varphi) \ dr \ d\varphi = \int_0^{2\pi} \Big[r^2-\dfrac{r^3}{3}\cos\varphi\Big]_0^1 \ dr \ d\varphi \\ =& \int_0^{2\pi} 1-\dfrac{1}{3}\cos\varphi \ d\varphi = \Big[\varphi-\dfrac{1}{3}\sin\varphi\Big]_0^{2\pi} =2\pi \end{array}$$$
Solució:
$$\text{Vol}(V)=2\pi$$