Ejercicios de Cálculo de volúmenes por integración directa

Calcular el volumen de la región limitada por el cilindro de ecuación  x2+y2=1  y los planos  z=0  y  z=2x.

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Desarrollo:

Por la simetría del problema, consideraremos coordenadas cilíndricas.

El cilindro queda determinado por r2=1 y los planos por z=0 y z=2cosφ. Por lo tanto, los límites de integración serán:

r(0,1)φ(0,2π)z(0,2rcosφ)

Así, si V es la región considerada:

Vol(V)=V1 dx dy dz=02π0102rcosφr dz dr dθ=02π01[rz]02rcosφ dr dθ=02π01(2rcosφ)r dr dθ=02π01(2rr2cosφ) dr dφ=02π[r2r33cosφ]01 dr dφ=02π113cosφ dφ=[φ13sinφ]02π=2π

Solución:

Vol(V)=2π

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