Exercicis de Concavitat i convexitat, punts d'inflexió d'una funció

Desenvolupament:

Resoldrem l'exercici fent tots els passos: derivar dues vegades la funció, igualar a zero, resoldre l'equació i els punts trobats seran els punts d'inflexió.

1. $f^{\prime }(x)=2x\Rightarrow f^{″}(x)=2$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 2=0\Rightarrow$ No hi ha punts d'inflexió.

2. $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow f^{″}(x)=0$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 0=0$

   Aquest és un cas particular. Arribem a una situació que no és falsa però no trobem cap $x$ concreta. Això significa que totes les $x$ són punts d'inflexió.

3. $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\Rightarrow f^{″}(x)={\displaystyle \frac{-2x^2+2}{(x^2+1{)}^2}}$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{-2x^2+2}{(x^2+1{)}^2}}=0\Rightarrow -2x^2+2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1,x=-1$

   Tenim punts d'inflexió en $x=1$ i $x=-1$.

4. $f^{\prime }(x)=3x^2-4x\Rightarrow f^{″}(x)=6x-4$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 6x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4}{6}}$

   Tenim punts d'inflexió en $x={\displaystyle \frac{4}{6}}$.

Solució:

1. No hi han punts d'inflexió.
2. Tots els punts són d'inflexió.
3. Tenim punts d'inflexió en $x=1$ i $x=-1$.
4. Tenim punts d'inflexió en $x={\displaystyle \frac{4}{6}}$.

Amagar desenvolupament i solució