Trobar els punts d'inflexió de les següents funcions:
- $$f(x)=x^2+1$$
- $$f(x)=1$$
- $$f(x)=\ln(x^2+1)-x$$
- $$f(x)=x^3-2x^2$$
Desenvolupament:
Resoldrem l'exercici fent tots els passos: derivar dues vegades la funció, igualar a zero, resoldre l'equació i els punts trobats seran els punts d'inflexió.
-
$$f'(x)=2x \Rightarrow f''(x)=2$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 2=0 \Rightarrow$$ No hi ha punts d'inflexió.
-
$$f'(x)=0 \Rightarrow f''(x)=0$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 0=0$$
Aquest és un cas particular. Arribem a una situació que no és falsa però no trobem cap $$x$$ concreta. Això significa que totes les $$x$$ són punts d'inflexió.
-
$$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow f''(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow \dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0 \Rightarrow -2x^2+2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1, \ x=-1 $$
Tenim punts d'inflexió en $$x=1$$ i $$x=-1$$.
-
$$f'(x)=3x^2-4x \Rightarrow f''(x)=6x-4$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{4}{6}$$
Tenim punts d'inflexió en $$x=\dfrac{4}{6}$$.
Solució:
- No hi han punts d'inflexió.
- Tots els punts són d'inflexió.
- Tenim punts d'inflexió en $$x=1$$ i $$x=-1$$.
- Tenim punts d'inflexió en $$x=\dfrac{4}{6}$$.