Concavitat i convexitat, punts d'inflexió d'una funció

Concavitat i convexitat

Es diu que una funció $f (x)$ és convexa si en unir dos punts qualssevol de la gràfica, el segment traçat queda per sobre de la gràfica:

imagen

En aquesta imatge podem observar amb diferents colors diferents segments que uneixen dos punts de la gràfica i que queden per sobre d'ella.

Exemple

Un exemple de funció no convexa és: imagen ja que trobem segments que uneixen dos punts de la gràfica i que passen per sota d'aquesta.

D'altra banda, es diu que una funció $f (x)$ és còncava si la funció $- f (x)$ és convexa, és a dir, si els segments que uneixen els punts de la gràfica de $f (x)$ estan tots situats per sota de la gràfica.

Exemple

Vegem un exemple de funció còncava: imagen

Vulgarment, podem dir que les funcions convexes són funcions corbes que presenten primer un descens i després un ascens i les funcions còncaves funciona al revés, primer un ascens i després un descens.

Les funcions, però, poden presentar parts còncaves i parts convexes en una mateixa gràfica, per exemple, la funció $f (x) = (x + 1)^{3} - 3 (x + 1)^{2} + 2$ presenta concavitat en l'interval $(- \infty, 0)$ i convexitat en l'interval $(0, \infty)$ : imagen

L'estudi de la concavitat i convexitat es realitza a través dels punts d'inflexió.

Punts d'inflexió

Es defineix un punt d'inflexió com el punt en què la funció passa de ser convexa a còncava o de còncava a convexa.

Exemple

Podem veure en l'exemple anterior que en el punt $x = 0$ (en l'origen de coordenades) la funció passa de ser còncava a ser convexa, per tant diem que $x = 0$ és punt d'inflexió. imagen

Una característica dels punts d'inflexió és que són els punts on la funció derivada té màxims i mínims. Si ens fixem, quan ens acostem a un punt d'inflexió la funció cada vegada creix més (o decreix menys), però al sobrepassar el punt d'inflexió la funció comença a créixer menys (o decréixer menys). Això vol dir que justament on hi hagi un punt d'inflexió la derivada tindrà un màxim o un mínim. Conseqüentment trobarem els punts d'inflexió buscant zeros de la segona derivada.

Anem a il·lustrar el procés amb un exemple per així donar una explicació simple i clara:

Exemple

Considerarem la funció $f (x) = x^{3} - 3 x$ (és la funció representada en l'anterior gràfica).

Sabem ja calcular els màxims i els mínims de la funció $f (x)$ usant la primera derivada. L'expressió d'aquesta és $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ i trobem un màxim i un mínim respectivament en $x = - 14$ i $x = 1$ . Si representem la gràfica de la derivada tenim: imagen

Observem que justament on la derivada té un mínim és on la funció té el punt d'inflexió.

Per trobar el punt anem a derivar la funció derivada i igualar a zero: $f^{″} (x) = 6 x \Rightarrow 6 x = 0 \Rightarrow x = 0$ i per tant la funció original en $x = 0$ té un punt d'inflexió.

El procés per trobar els punts d'inflexió, igual que els màxims i mínims, és un procés algorítmic i molt mecànic. Derivar la funció dues vegades, igualar a zero i trobar les solucions de l'equació. Aquestes solucions justament seran on tinguem punts d'inflexió.