Concavidad y convexidad
Se dice que una función $$f(x)$$ es convexa si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica, el segmento trazado queda por encima de la gráfica:
En esta imagen podemos observar con distintos colores diferentes segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que quedan por encima de ella.
Un ejemplo de función no convexa es:
ya que encontramos segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que pasan por debajo de ésta.
Por otro lado, se dice que una función $$f(x)$$ es cóncava si la función $$-f(x)$$ es convexa, es decir, si los segmentos que unen los puntos de la gráfica $$f(x)$$ están todos situados por debajo de la gráfica.
Veamos un ejemplo de función cóncava:
Vulgarmente, podemos decir que las funciones convexas son funciones curvas que presentan primero un descenso y luego un ascenso y las funciones cóncavas funciona al revés, primero un ascenso y luego un descenso.
Las funciones, pero, pueden presentar partes cóncavas y partes convexas en una misma gráfica, por ejemplo, la función $$f(x)=(x+1)^3-3(x+1)^2+2$$ presenta concavidad en el intervalo $$(-\infty,0)$$ y convexidad en el intervalo $$(0,\infty)$$:
El estudio de la concavidad y convexidad se realiza a través de los puntos de inflexión.
Puntos de inflexión
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
Podemos ver en el ejemplo anterior que en el punto $$x=0$$ (en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos que $$x=0$$ es punto de inflexión.
Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexion la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada.
Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para así dar una explicación simple y clara:
Consideraremos la función $$f(x)=x^3-3x$$ (es la función representada en la anterior gráfica).
Sabemos ya calcular los máximos y los mínimos de la función $$f(x)$$ usando la primera derivada. La expresión de ésta es $$f'(x)=3x^2-3$$ y justamente encontramos máximos y mínimos respectivamente en $$x=-14$$ y $$x=1$$. Si representamos la gráfica de la derivada tenemos:
Observamos que justamente donde la derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión.
Para saber qué punto es vamos a derivar la función derivada e igualarla a cero: $$$f''(x)=6x \Rightarrow 6x=0 \Rightarrow x=0$$$ y por tanto la función original en $$x=0$$ tiene un punto de inflexión.
El proceso para encontrar los puntos de inflexión, al igual que los máximos y mínimos, es un proceso algorítmico y muy mecánico. Derivar la función dos veces, igualar a cero y encontrar las soluciones de la ecuación. Estas soluciones justamente serán donde tengamos puntos de inflexión.