Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de una función

Crecimiento y decrecimiento

Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo.

Decimos que una función $f(x)$ es creciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1<x_2$ entonces $f(x_1)⩽f(x_2)$.

Decimos que una función $f(x)$ es decreciente en intervalo $[a,b]$ ssi dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1<x_2$ entonces $f(x_1)⩾f(x_2)$.

Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes).

Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando $x$ se hace grande.

Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen.

Decimos que una función $f(x)$ es estrictamente creciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1<x_2$ entonces $f(x_1)<f(x_2)$.

Decimos que una función $f(x)$ es estrictamente decreciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1<x_2$ entonces $f(x_1)>f(x_2)$.

A continuación podemos ver unos ejemplos:

Máximos y mínimos

Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son máximos o mínimos relativos o globales.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo, podemos observar que en $x=0$ la función $f(x)=x^2$ tiene un mínimo:

Definamos pues correctamente el concepto de mínimo y máximo relativo y global:

• Un punto $x_0$ se denomina máximo global si para todo punto $x$ del dominio, la función comple $f(x)⩽f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina mínimo global si para todo punto $x$ del dominio, la función comple $f(x)⩾f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina máximo relativo si para todo punto $x$ de un entorno de $x_0$ $[x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]$ (donde $\epsilon$ es un valor pequeño), la función comple $f(x)⩽f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina mínimo relativo si para todo punto $x$ de un entorno de $x_0$ $[x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]$ (donde $\epsilon$ es un valor pequeño), la función comple $f(x)⩾f(x_0)$.

Para entender mejor cada concepto veamos un ejemplo de cada:

Localización de màximos y mínimos

Vamos a ver cómo encontrar máximos y minimos relativos.

Para ello consideramos una función $f(x)$ c contínua en un dominio abierto y derivable en éste.

Si nos fijamos en las gráficas anteriores, los puntos máximos y mínimos relativos tienen como recta tangente una recta de pendiente cero. Esta será la clave para encontrar máximos y mínimos.

El procedimiento será derivar la función $f(x)$ y igualarla a cero. Resolviendo la ecuación que aparece encontraremos los puntos $x$ que serán máximos o mínimos en nuestra función.

El siguiente paso será saber si son máximos o mínimos. Esto se puede deducir del valor que alcance la segunda derivada de la función en el punto en cuestión: si es positivo, será mínimo, y si es negativo, será máximo.

Para entender bien el proceso, veamos un ejemplo.