Ejercicios de Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de una función

Desarrollo:

Derivaremos las funciones y igualaremos a cero. Resolveremos la ecuación y obtendremos las soluciones (si es que existen). Una vez que sepamos los valores donde encontramos máximos y/o mínimos (las soluciones de la ecuación) usando la segunda derivada sabremos si son máximos o mínimos.

1. Derivamos y igualamos a cero: $$f^{\prime }(x)=2x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$f^{″}(x)=2\Rightarrow f^{″}(0)=2>0$$ Por consiguiente $x=0$ es un mínimo.

2. Derivamos y igualamos a cero: $$f^{\prime }(x)=1\Rightarrow 1=0$$ Per lo que no existe ningún $x$ que cumpla $1=0$ y no tendremos máximos ni mínimos.

3. Derivaremos y igualaremos a cero: $$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1{)}^2}}\Rightarrow f^{″}(0)=\frac{1}{1}=1>0$$ Por consiguiente, $x=0$ es un mínimo.

Solución:

1. Mínimo en $x=0$.
2. No hay màximos ni mínimos.
3. Mínimo en $x=0$.

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