Encontrar en las siguientes funciones los máximos y/o mínimos relativos.
- $$f(x)=x^2+1$$
- $$f(x)=x+5$$
- $$f(x)=\ln(x^2+1)$$
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
Derivaremos las funciones y igualaremos a cero. Resolveremos la ecuación y obtendremos las soluciones (si es que existen). Una vez que sepamos los valores donde encontramos máximos y/o mínimos (las soluciones de la ecuación) usando la segunda derivada sabremos si son máximos o mínimos.
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Derivamos y igualamos a cero: $$$f'(x)=2x \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$$$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$$f''(x)=2 \Rightarrow f''(0)=2>0$$$ Por consiguiente $$x=0$$ es un mínimo.
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Derivamos y igualamos a cero: $$$f'(x)=1 \Rightarrow 1=0$$$ Per lo que no existe ningún $$x$$ que cumpla $$1=0$$ y no tendremos máximos ni mínimos.
- Derivaremos y igualaremos a cero: $$$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \dfrac{2x}{x^2+1}=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0 $$$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$$f''(x)=\dfrac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} \Rightarrow f''(0)=\frac{1}{1}=1>0$$$ Por consiguiente, $$x=0$$ es un mínimo.
Solución:
- Mínimo en $$x = 0$$.
- No hay màximos ni mínimos.
- Mínimo en $$x = 0$$.