Trobar en les següents funcions els màxims i/o mínims relatius.
- $$f(x)=x^2+1$$
- $$f(x)=x+5$$
- $$f(x)=\ln(x^2+1)$$
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
Derivarem les funcions i igualem a zero. Resoldrem l'equació i obtindrem les solucions (si és que existeixen). Un cop sapiguem els valors on trobem màxims i / o mínims (les solucions de l'equació) usant la segona derivada sabrem si són màxims o mínims.
-
Derivem i igualem a zero: $$$f'(x)=2x \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$$$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$$f''(x)=2 \Rightarrow f''(0)=2>0$$$ Per tant $$x=0$$ és un mínim.
-
Derivem i igualem a zero: $$$f'(x)=1 \Rightarrow 1=0$$$ Per tant no existeix cap $$x$$ que ho compleixi pel que no tindrem màxims ni mínims.
- Derivarem i igualarem a zero: $$$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \dfrac{2x}{x^2+1}=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0 $$$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$$f''(x)=\dfrac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} \Rightarrow f''(0)=\frac{1}{1}=1>0$$$ Per tant, $$x = 0$$ és un mínim.
Solució:
- Mínim en $$x = 0$$.
- No hi ha màxims ni mínims.
- Mínim en $$x = 0$$.