Exercicis de Creixement i decreixement, màxims i mínims d'una funció

Desenvolupament:

Derivarem les funcions i igualem a zero. Resoldrem l'equació i obtindrem les solucions (si és que existeixen). Un cop sapiguem els valors on trobem màxims i / o mínims (les solucions de l'equació) usant la segona derivada sabrem si són màxims o mínims.

1. Derivem i igualem a zero: $$f^{\prime }(x)=2x\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$f^{″}(x)=2\Rightarrow f^{″}(0)=2>0$$ Per tant $x=0$ és un mínim.

2. Derivem i igualem a zero: $$f^{\prime }(x)=1\Rightarrow 1=0$$ Per tant no existeix cap $x$ que ho compleixi pel que no tindrem màxims ni mínims.

3. Derivarem i igualarem a zero: $$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1{)}^2}}\Rightarrow f^{″}(0)=\frac{1}{1}=1>0$$ Per tant, $x=0$ és un mínim.

Solució:

1. Mínim en $x=0$.
2. No hi ha màxims ni mínims.
3. Mínim en $x=0$.

Amagar desenvolupament i solució