Creixement i decreixement, màxims i mínims d'una funció

Creixement i decreixement

Les funcions poden ser creixents o decreixents al llarg del seu domini o en un cert interval.

Diem que una funció $f(x)$ és creixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1<x_2$ aleshores $f(x_1)⩽f(x_2)$.

Diem que una funció $f(x)$ és decreixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1<x_2$ aleshores $f(x_1)⩾f(x_2)$.

Les funcions que mai decreixen, sempre augmenten el seu valor o es mantenen (les funcions creixents).

Anàlogament, les funcions decreixents mai creixen, sempre disminueixen el seu valor o es mantenen quan $x$ es fa gran.

D'altra banda, podem definir funcions estrictament creixents o decreixents: aquestes mai es mantindran en un mateix valor: o augmenten o disminueixen.

Diem que una funció $f(x)$ és estrictament creixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1<x_2$ aleshores $f(x_1)<f(x_2)$. Diem que una funció $f(x)$ és estrictament decreixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1<x_2$ aleshores $f(x_1)>f(x_2)$.

A continuació podem veure uns exemples:

Màxims i mínims

Quan representem una funció podem veure que de vegades apareixen punts que són màxims o mínims relatius o globals.

Com podem veure en el següent exemple, podem observar que en $x=0$ la funció $f(x)=x^2$ té un mínim:

Definim doncs correctament el concepte de mínim i màxim relatiu i global:

• Un punt $x_0$ s'anomena màxim global si per a tot punt $x$ del domini, la funció compleix $f(x)⩽f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena mínim global si per a tot punt $x$ del domini, la funció compleix $f(x)⩾f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena màxim relatiu si per a tot punt $x$ d'un entorn de $x_0$ $[x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]$ (on $\epsilon$ és un valor petit), la funció compleix $f(x)⩽f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena mínim relatiu si per a tot punt $x$ dd'un entorn de $x_0$ $[x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ]$ (on $\epsilon$ és un valor petit), la funció compleix $f(x)⩾f(x_0)$.

Per entendre millor cada concepte vegem un exemple de cada:

Localització de màxims i mínims

Anem a veure com trobar màxims i mínims relatius.

Per això considerem una funció $f(x)$ contínua i derivable en un domini obert.

Si ens fixem en les gràfiques anteriors, els punts màxims i mínims relatius tenen com a recta tangent una recta de pendent zero. Aquesta serà la clau per trobar màxims i mínims.

El procediment serà derivar la funció $f(x)$ i igualar a zero. Resolent l'equació que apareix trobarem els punts $x$ que seran màxims o mínims en la nostra funció.

El següent pas serà saber si són màxims o mínims. Això es pot deduir del valor que prengui la segona derivada de la funció en el punt en qüestió: si és positiu, serà mínim, i si és negatiu, serà màxim.

Per entendre bé el procés, vegem un exemple.